【冲刺实验班】湖北孝感高中2019中考提前自主招生数学模拟试卷(5)附解析

25．某校研究性学习小组在研究有关反比例函及其图象性质的问题，时发现了三个重要结论．已知：A是反比例函数

（k为非零常数）的图象上的一动点．

（1）如图1过动点A作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M、N，求证：矩形OMAN的面积是定值；

（2）如图2，过动点A且与双曲线有唯一公共点A的直线l与x轴交于点C，y轴交于点D，求证：△OCD的面积是定值；

（3）如图3，若过动点A的直线与双曲线交于另一点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．求证：AD=BC．（任选一种证明）

【考点】GB：反比例函数综合题．

【分析】（1）设出点A的坐标，按照矩形的面积公式求解即可；

（2）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），根据直线l与双曲线有唯一公共点，可求出A点是CD的中点，继而得出答案；

（3）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），可利用几何法和代数法进行求解． 【解答】解：（1）图中点A在第一象限， 设A（xA，yA ），OM=xA，ON=yA， SOMAN=OM?ON=xA?yA=k

（2）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0）， 则点C

，D（（0，b），

，

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，

∴，

∴A是CD中点，由（1）中结论得S△OCD=2k．

（3）几何方法：如图（2），过点A、B分别向坐标轴作垂线段由（1）中的结论得AE?AF=BG?BH， ∴

．

代数方法：设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），

，

，

，

得AF=CG，再可由全等证得DA=BC．

利用图3（2）时注意点B的坐标符号，其它方法略．

，

【点评】本题考查了反比例函数的知识，难度不大，注意善于总结这类综合题的解题思路和方法．

26．已知，关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣4）x﹣a+3=0（a＜0）． （1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），若y是关于a的函数，

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且y=，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a的方程y+a+1=0的解．

【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；G2：反比例函数的图象；G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根，就是证明方程的判别式△＞0即可；

（2）由求根公式及两根关系确定x1，x2代入求得y．即可求得函数解析式； （3）a＜0及一次函数，反比例函数的作图法求出a的值． 【解答】解：（1）△=（a﹣4）2+4（a﹣3）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2 ∵a＜0，∴（a﹣2）2＞0．

∴方程一定有两个不相等的实数根；

（2）∴x=a﹣3或∵a＜0，x1＜x2， ∴x1=a﹣3，x2=﹣1， ∴

，

．

（a＜0）；

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（3）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出的图象．

（a＜0）和y=﹣a﹣1（a＜0）

由图象可得当a＜0时，方程y+a+1=0的解是a=﹣2．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，利用求根公式正确求得方程的根，是解题的关键，并且本题利用函数的图象解题，体现了数形结合的思想．

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