【冲刺实验班】湖北孝感高中2019中考提前自主招生数学模拟试卷(5)附解析

【考点】H7：二次函数的最值；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．

【分析】（1）先作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，△OBF是直角三角形，利用勾股定理有AB=2

=4，易求OF，易知四边形FOEM是矩形，

从而有OE2+OF2=OM2=5，易求OE=0，那么CD是直径等于6，从而易求四边形ADBC的面积；

（2）先设OE=x，OF=y，则x2+y2=5，根据（1）可得AB=2从而易知S

ADBC=2

四边形

，CD=2，

四边形

ADBC=AB×CD=2×

，结合x2+y2=5，可得S

，从而可求四边形ADBC的面积的最大值．

【解答】解：（1）作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC， 那么AB=2∴OF=

，

=4，

又∵OE2+OF2=OM2=5， ∴OE=0， ∴CD=6，

∴S四边形ADBC=AB×CD=12；

（2）设OE=x，OF=y，则x2+y2=5， ∵AB=2

，CD=2

， ×

=2

=2

，

∴S四边形ADBC=AB×CD=2

∴当x2=时，四边形ADBC的最大面积是13．

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【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理、二次函数的最值、矩形的判定．解题的关键是作出辅助线，求出OE，并能用OE、OF表示AB、CD．

23．如图，正方形BCEF的中心为O，△CBO的外接圆上有一点A（A、O在BC同侧，A、C在BO异侧），且AB=2（1）求∠CAO的值； （2）求tan∠ACB的值； （3）求正方形BCEF的面积．

，AO=4．

【考点】LE：正方形的性质；T1：锐角三角函数的定义．

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，即可求解；

（2）作BH⊥OA，交OA的延长线于H，可以得到∠ACB=∠BOH，根据三角函数的定义即可求解；

（3）根据三角函数即可求得AC的长，然后根据勾股定理即可求得BC的长，则正方形的面积即可求解．

【解答】解：（1）∠CAO=∠CBO=45°；

（2）作BH⊥OA，交OA的延长线于H， 则∠BAH=45° ∴AH=2，BH=2 ∴tan∠BOH=

=

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又∠ACB=∠BOH ∴tan∠ACB=．

（3）∵tan∠ACB=，又AB=2∴AC=6∴BC2=80

∴正方形BCEF的面积是80．

【点评】本题考查了正方形的性质，以及三角函数，正确作出辅助线求得AC的长度是解题关键．

24．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．

【考点】MK：相切两圆的性质；SE：射影定理．

【分析】要证MP分别与⊙A和⊙B相切，如图示，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC和Rt△ABD中，由射影定理得PA2=AC2=AE?AB，PB2=BD2=BF?AB．两式相减可得PA2﹣PB2=AB（AE﹣BF），又PA2

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﹣PB2=（PA+PB）（PA﹣PB）=AB（PA﹣PB），于是有AE﹣BF=PA﹣PB，即PA﹣AE=PB﹣BF，所以PE=PF，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形CDEF的中位线，于是得MP⊥AB，进而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．

【解答】证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F

∴CE∥DF，∠AEC=90°，∠BFD=90°． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°．

又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角， ∴△ACB∽△AEC， ∴AC：AB=AE：AC 即PA2=AC2=AE?AB， 同理PB2=BD2=BF?AB．

两式相减可得PA2﹣PB2=AB（AE﹣BF），

∴PA2﹣PB2=（PA+PB）（PA﹣PB）=AB（PA﹣PB）， ∴AE﹣BF=PA﹣PB，即PA﹣AE=PB﹣BF， ∴PE=PF，

∴点P是线段EF的中点． ∵M是CD的中点，

∴MP是直角梯形CDEF的中位线， ∴MP⊥AB，

∴MP分别与⊙A和⊙B相切．

【点评】这道题考查了相切两圆的性质和射影定理的应用，以及中位线的知识，同学们应熟练掌握．

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