高中数学 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程课堂导学案 新人教A版选修44

二 圆锥曲线的参数方程

课堂导学

三点剖析

一、利用参数方程求点的轨迹

x2y2?【例1】 已知A、B分别是椭圆=1的左顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求369△ABC的重心G的轨迹的普通方程.

解析:本题有两种思考方式,求解时把点C的坐标设为一般的(x1,y1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cosθ,3sinθ)的形式,从而予以求解.

解：由动点C在该椭圆上运动,故据此可设点C的坐标为(6cosθ,3sinθ),点G的坐标为(x,y),则由题意可知点A(-6,0)、B(0,3). 由重心坐标公式可知

?6?0?6cos??x???2?2cos?,??3 ??y?0?3?3sin??1?sin?.?3?(x?2)22由此消去θ得到+(y-1)=1,即为所求.

4温馨提示

本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得更简单、更便捷. 各个击破 类题演练 1

x2y2已知双曲线2?2=1(a>0,b>0)的动弦BC平行于虚轴,M、N是双曲线的左、右顶点.

ab(1)求直线MB、CN的交点P的轨迹方程;

(2)若P(x1,y1),B(x2,y2),求证:a是x1、x2的比例中项.

(1)解:由题意可设点B(asecθ,btanθ),则点C(asecθ,-btanθ),又M(-a,0),N(a,0),

btan?(x+a),

asec??abtan?直线CN的方程为y=(x-a).

a?asec?∴直线MB的方程为y=

x2y2将以上两式相乘得点P的轨迹方程为2?2=1.

ab

1

(2)证明:因为P既在MB上,又在CN上,由两直线方程消去y1得x1=有x1x2=a,即a是x1、x2的比例中项. 变式提升 1

2

a,而x2=asecθ,所以sec??x?2t?1,在直角坐标系xOy中,参数方程?(t为参数)表示的曲线是___________. 2?y?2t?1解析:t=

x?1x?1222

代入y=2t-1得y=2()-1,即(x-1)=2(y+1). 22答案:抛物线

二、利用参数方程求坐标

22

【例2】 在椭圆7x+4y=28上求一点,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求出这一最短距离.

x2y2?解：把椭圆方程化为=1的形式, 47则可设椭圆上点A坐标为(2cosα,7sinα), 则A到直线l的距离为d=

|6cos??27sin??16|13?|8sin(???)?16|13(其中

β=arcsin

3). 4∴当β-α=

?8813时,d有最小值,最小值为. ?2131373?,∴sinα=-cosβ=?,cosα=sinβ=.

44273,?).

42此时α=β-

∴A点坐标为(

温馨提示

用参数方程解决一些坐标问题,简单易行,本例是很典型的. 类题演练 2 椭圆??x?4cos?,(θ为参数)的左焦点的坐标是__________.

?y?3sin?7,0).

解析:a=4,b=3,∴c=7.∴坐标为(?答案:(?7,0)

变式提升 2

x2y2在椭圆2?2=1(a>b>0)的第一象限的

ab

上求一点P,使四边形OAPB的面积最大,并求最

2

大面积.

解析:如图,将四边形OAPB分割成△OAP与△OPB,则P点纵坐标为△OAP的OA边上的高,P点横坐标为△OPB的OB边上的高.

解:设P(acosθ,bsinθ),S四边形OAPB=S△OAP+S△OPB=

11absinθ+abcosθ 22=

21?ab(sinθ+cosθ)=absin(+θ).

2242?时,四边形OAPB面积最大,最大面积为ab,此时,P点坐标为

24 当θ=

(

22a,b). 22三、范围及最值问题

222

【例3】 圆M的方程为x+y-4Rxcosα-4Rysinα+3R=0(R>0). (1)求该圆圆心M的坐标以及圆M的半径;

(2)当R固定,α变化时,求圆心M的轨迹,并证明此时不论α取什么值,所有的圆M都外切于一个定圆.

思路分析:本题中所给的圆方程中的变数有多个,此时要结合题意分清究竟是哪个真正在变,而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误.

222

解:(1)由题意得圆M的方程为(x-2Rcosα)+(y-2Rsinα)=R,故圆心为M(2Rcosα,2Rsinα),半径为R. (2)当α变化时,圆心M的轨迹方程为?2

2

2

?x?2Rcos?,(其中α为参数),两式平方相加得

?y?2Rsin?x+y=4R,所以圆心M的轨迹是圆心在原点,半径为2R的圆.

由于(2Rcos?)?(2Rsin?)=2R=3R-R,(2Rcos?)?(2Rsin?)=2R=R+R, 所以所有的圆M都和定圆x+y=R外切,和定圆x+y=9R内切. 类题演练 3 曲线C:?2

2

2

2

2

2

2222?x?cos?,(θ为参数)的普通方程是,如果C与直线x+y+a=0有________公共

?y??1?sin?点,那么实数a的取值范围是_________.

22

解析：参数方程消去θ得x+(y+1)=1.

曲线C与直线x+y+a=0有公共点,则圆心到直线的距离不超过半径长, 即

|0?1?a|2≤1.∴1-2≤a≤1+2.

3

答案:x2

+(y+1)2

=1 1-2≤a≤1+2

变式提升 3

设a、b∈R,a2+2b2

=6,则a+b的最小值是________.

解析:∵a2+2b2

=6,

∴a2b26?3=1. 设???a?6cos?,?(θ为参数), ?b?3sin?∴a+b=6cosθ+3sinθ=3sin(θ+φ),

其中cosφ=

33,sinφ=63, 即a+b的最小值是-3.

答案:-3

4