2007年高考.四川卷.理科数学试题及解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)?P(A)?P(B) 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

kPn(k)?CnPk(1?P)n?k

V?43?R 3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

一、选择题 (1) 复数

1?i3?i的值是 1?i（A）0 (B)1 (C)-1 (D)1

(2)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是

x1?1? (3)limx?12x2?x?1（A）0 (B)1 (C)

12 (D) 23

(4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 ．．

（A）BD∥平面CB1D1

（B）AC1⊥BD

（C）AC1⊥平面CB1D1

（D）异面直线AD与CB1角为60°

第1页 （共10页）

x2y2（5）如果双曲线??1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是

42（A）

46 3（B）

26 3（C）26 （D）23

（6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是B-OA-C的大小为

（A）

?，且三面角2?，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是 3

（B）

7? 65? 4 （C）

4? 3 （D）

3? 2

（7）设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O为坐标原点，???若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为

(A)4a?5b?3 (B)5a?4b?3 (C)4a?5b?14 (D)5a?4b?14

（8）已知抛物线y??x2?3上存在关于直线x?y?0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

（A）3

（B）4

（C）32

（D）42

（9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙3每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为

（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元

（10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有

（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个

（11）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1， l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是

22146317（A）23 （B） （C） （D）

334

1（12）已知一组抛物线y?ax2?bx?1，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个

2数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是

1765（A） （B） （C） （D）

12602525

第2页 （共10页）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.

（13）若函数f(x)=e-(m-u)2 (c是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数，则m+u= .

(14)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 .

(15)已知⊙O的方程是x2+y2-2=0, ⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O’所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 .

(16)下面有五个命题：

①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?.

k?②终边在y轴上的角的集合是{a|a=,k?Z|.

2③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把函数y?3sin(2x?⑤函数y?sin(x???)的图象向右平移得到y?3sin2x的图象. 36?)在〔0，?〕上是减函数. 2其中真命题的序号是 （写出所言 ）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知cos??113?,cos(???)?,且0

（Ⅱ）求?. 得分 评卷人 （18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数?的分布列及期望E?，并求该商家拒收这批产品的概率. 得分 评卷人 （19）（本小题满分12分） 如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC; （Ⅱ）求二面角M?AC?B的大小; （Ⅲ）求三棱锥P?MAC的体积.

第3页 （共10页）

得分 评卷人 x2?y2?1的左、右焦点. （20）（本小题满分12分）设F1、F2分别是椭圆4 （Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

21．（本小题满分12分）已知函数f?x??x2?4，设曲线y?f?x?在点xn，f?xn?处的切线与x轴

??的交点为?xn?1，0?n?N*，其中x1为正实数． （Ⅰ）用xn表示xn?1；

（Ⅱ）求证：对一切正整数n，xn?1≤xn的充要条件是x1≥2； （Ⅲ）若x1?4，记an?lg

??xn?2，证明数列?an?成等比数列，并求数列?xn?的通项公式． xn?2n?1?(22)(本小题满分14分)设函数f(x)??1??(n?N,且n?1,x?N).

?n??1?(Ⅰ)当x=6时,求?1??的展开式中二项式系数最大的项;

?n?f(2x)?f(2)(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞f?(x)(f?(x)是f(x)的导函数);

2n?1?(Ⅲ)是否存在a?N,使得an＜??1??＜(a?1)n恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若

k?k?1?不存在,请说明理由.

第4页 （共10页）

n