12.基本量法

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高考数学母题

[母题]Ⅰ(10-12):基本量法(205) 563

基本量法

[母题]Ⅰ(10-12):(2004年上海高考试题)若干个能唯一确定一个数列的量,称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列的“基本量”的是第 组(写出所有符合要求的组号).

①S1与S2;②a2与S3;③a1与an;④q与an.其中n为大于1的整数,Sn为{an}的前n项和.

[解析]:①S1=a1,S2=a1(1+q),可唯一确定a1与q,故①正确;②a2=a1q,S3=a1+a1q+a1q2,不能唯一确定a1与q,故②错误;同理

可得③错误;④正确;故选①④.

[点评]:由等比数列的定义:“如果数列{an}满足:an+1=qan(q为非零常数),那么这个数列叫做等比数列,这个常数q叫做

等比数列的公比”.易得:①通项公式:an=a1q;②公比公式:q=

n-1

n-m

ana(1?qn);③求和公式:Sn=1(q≠1);解决等比数列问题am1?q的最基本的方法是“基本量方法”,即首先根据条件,由通项公式和求和公式列方程组,求出等差数列的首项a1和公比q,解决问题;或把己知和待求式都化成关于a1与q的表达式,由此分析解决问题.

[子题](1):(2010年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若三个非零实数x(y-z),y(z-x),z(y-x)成等比数列,则其公比q= .

[解析]:由x(y-z)+y(z-x)=z(y-x)?1+q=q2?q=1?52.

注:在等比数列{an}中,求其公比q是其中心问题,也应是优先解决的问题,在关于通项an的齐次等式中,同除通项an的最低项,并利用公式q=

n-m

an可得关于q的方程,解方程求q. am [子题](2):(2014年江苏高考试题)在各项均为正数的等比数列{an}中,a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 .

[解析]:由a8=a6+2a4?q6=q2+2?q2=2?a6=a2q4=4.

注:由等比数列{an}的通项an=a1q得:an=amq,该式表明可从任意一项起写出通项;灵活利用该式可避免分类讨论,减少计算,优化解题过程.

[子题](3):(1992年三南高考试题)设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3?a30=2,那么a3a6a9?a30等于

30

n-1

n-m

( ) (A)2 (B)2 (C)2 (D)2

10201615

[解析]:(法一)由a1a2a3?a30=a130q1+2+3+?+29=a130q15×29=230?a110q145=210?a3a6a9?a29=a110q2+5+8+?+29=a110q155=a110q145q10=220.故选(B).

(法二)设a1a4a7?a28=x?a2a5a8?a29=2x?a3a6a9?a30=2x?a1a2a3?a30=2x=2?x=1?a3a6a9?a30=2.故选(B). 注:在等比数列{an}中,anq=an+m,利用该式对an乘除q变换得到另一项an+m或an-m,是解决等比数列问题的常用方法与技巧,体现了等比数列的本质. [子题系列]: 1.(2007年重庆高考试题)在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则公比q为( )

(A)2 (B)3 (C)4 (D)8 2.(2008年浙江高考试题)己知{an}是等比数列,a2=2,a5=(A)-1,则公比q=( ) 4m

m

10

20

303

30

20

11 (B)-2 (C)2 (D) 223.(2010年重庆高考试题)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值为( )

564 [母题]Ⅰ(10-12):基本量法(205)

(A)2 (B)3 (C)4 (D)8 4.(2011年广东高考试题)已知{an}是递增的等比数列,若a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q= . 5.(2011年辽宁高考试题)若等比数列{an}满足anan+1=16,则公比为( )

(A)2 (B)4 (C)8 (D)16 6.(2012年浙江高考试题)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q= . 7.(2010年辽宁高考试题)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 8.(2012年辽宁高考试题)已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q= . 9.(2009年广东高考试题)己知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2a5,a2=1,则a1=( ) (A)2 (B)2 (C)

12 (D)

2211 (D)- 992

n

10.(2013年课标Ⅱ高考试题)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ) (A) (B)- (C)

131311.(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知等比数列{an}中,a3=-1,a7=-121,则a5= . 12.(2008年全国Ⅰ高考试题)己知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=( )

(A)64 (B)81 (C)128 (D)243 13.(2007年重庆高考试题)设{an}为公比q>1的等比数列,若a2004和a2005是方程4x-8x+3=0的两根,则a2006+a2007= . 14.(2006年武汉大学保送生考试试题)已知等比数列{an}的首项a1=1,前3项和S3=3,则a3=( ) (A)1 (B)-4或-1 (C)4 (D)1或4 15.(2009年全国Ⅱ高考试题)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1=1,S6=4S3,则a4= .

16.(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知正数a1,a2,?,a7构成等比数列.若前五项的和为72+6,后五项的和为142+12,则a6等于 .

17.(2013年全国高中数学联赛浙江预赛试题)已知等比数列{an}:a1=3,且第一项至第八项的几何平均数为9,则第三项是( ) (A)3981 (B)3781 (C)39 (D)33 18.(2004年全国Ⅰ高考试题)己知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则数列的通项an= . 19.(2010年江西高考试题)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an=( )

(A)(-2) (B)-(-2) (C)(-2) (D)-(-2) 20.(2010年福建高考试题)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an= . 21.(2014年全国高中数学联赛广东预赛试题)已知各项均为正数的等比数列{an}满足:|a2-a3|=14,a1a2a3=343,则数列{an}的通项公式为 .

22.(2012年辽宁高考试题)已知等比数列{an}为递增数列,且a5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an= . 23.(2005年江苏高考试题)在各项均为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=( )

(A)33 (B)72 (C)84 (D)189 24.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)九个正实数a1,a2,?,a9构成等比数列,且a1+a2=等于 .

25.(2012年课标高考试题)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( )

(A)7 (B)5 (C)-5 (D)-7 26.(2004年全国Ⅳ高考试题)等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为( )

(A)81 (B)120 (C)168 (D)192 27.(2007年湖南高考试题)在等比数列{an}(n∈N+)中,若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为( )

183,a3+a4+a5+a6=15.则a7+a8+a942

n-1

n-1

n

n

2

[母题]Ⅰ(10-12):基本量法(205) 565

(A)2-128 (B)2-

129 (C)2-

1210 (D)2-

1211

28.(2008年福建高考试题)设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}的前7项的和为( ) (A)63 (B)64 (C)127 (D)128

29.(2012年江西高考试题)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N+,都有an+2+an+1-2an=0,则S5= .

30.(2009年宁夏、海南高考试题)等比数列{an}的公比q>0,己知a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前4项和S4= . 31.(2010年辽宁高考试题)设{an}是有正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5=( ) (A)

15313317 (B) (C) (D) 24425,则S5=( ) 432.(2010年广东高考试题)已知{an}为等比数列,Sn是它的前n项和.若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为

(A)35 (B)33 (C)31 (D)29 33.(2013年辽宁高考试题)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x-5x+4=0的两个根,则S6= .

34.(2013年北京高考试题)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q= ;前n项和Sn= . 35.(2013年广东高考试题)设数列{an}是首项为1.公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= . 36.(2010年北京高考试题)在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m=( )

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 37.(2010年全国Ⅰ高考试题)已知各项均为正数比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )

(A)52 (B)7 (C)6 (D)42 38.(2012年山东春抬试题)已知1和4的等比中项是log3x,则实数x的值是( ) (A)2或

1111 (B)3或 (C)4或 (D)9或 23492

39.(2013年江西高考试题)等比数列x,3x+3,6x+6,?的的第四项等于( )

(A)-24 (B)0 (C)12 (D)24 40.(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为 . 41.(2013年全国高中数学联赛山西预赛试题)若a为正数,[a]表示a的整数部分,而{a}=a?[a],如果a、[a]、{a}顺次组成等比数列,则a= . [子题详解]: 1.解:由q=3.解:由q=

33

a1a413

=8?q=2.故选(A). 2.解:由q=5=?q=.故选(D).

2a1a28a20102

=8?q=2.故选(A). 4.解:由a2=2,a4-a3=4?q-q=2?q=2或-1(舍去)?q=2. a2007n

22n-1

2n

2

5.解:由anan+1=16?a1q=4?q=4.故选(B). 6.解:由a3+a4=S4-S2=3a4-3a2?2q-q-3=0?q=

2

3. 27.解:由3a3=3S3-3S2=a4-a3?q=4.故选(B). 8.解:由2(an+an+2)=5an+1?2(1+q)=5q?q=2.

221028

9.解:由a3a9=2a5?a1q=2a1q?q=2;又由a2=1?a1=

2.故选(C). 210.解:由S3=a2+10a1?a3=9a1?q=9;又由a5=9?a1=

4

2

2

2

1.故选(C). 911.解:由q=121?q=11?a5=a3q=-11. 12.解:由a1+a2=3,q(a1+a2)=6?q=2,a1=1?a7=64.故选(A).

22

13.解:由q>1?a2004

22 566 [母题]Ⅰ(10-12):基本量法(205)

14.解:由a1+a1q+a2q=3?q+q=2?q=1或-2?a3=a1q=1或4,选(D). 15.解:由S6=4S3?a6+a5+a4=3(a3+a2+a1)?q=3?a4=3.

2

16.解:由a1+a2+a3+a4+a5=72+6,a3+a4+a5+a6+a7=142+12,二式相除得q=2?a1=2?a6=8.

3

2

2

2

17.解:由S8=72?1+q+q+q+q+q+q+q=24?(1+q+q+q)(1+q)=24?q=79?a3=3781.故选(B).

2

3

4

5

6

7

2

3

4

18.解:由q=

7

a10n-3n-3

=128?q=2?an=a3q=3×2. 19.解:由a5=-8a2?q=-2.故选(A). a3n-1

20.解:由a1+a2+a3=21?21a1=21?a1=1?an=4.

21.解:由a1a2a3=343?a1q=343?a1q=7;又由|a2-a3|=14?a1q|1-q|=14?|1-q|=2?q=3?a1=22.解:由2(an+an+2)=5an+1?2(1+q)=5q?q=2或

2

2

33

7n-2

?an=7×3. 312289n

(舍去)?q=2;又由a5=a10?a1q=a1q?a1=q=2?an=2. 22

23.解:由a1+a2+a3=21?q+q=6?q=2?a3+a4+a5=q(a1+a2+a3)=84.故选(C). 24.解:由a1+a2=112.

25.解:由a5a6=-8?a1q=-8;又由a4+a7=2?a1q(1+q)=2?q=-2,a1=1?a1+a10=-7;或q=-26.解:由q=3,a1=3?S4=120.故选(B). 27.解:由q=

29

3

3

3

3

33122322

,a3+a4+a5+a6=15?a1(1+q)=,a1q(1+q+q+q)=15,两式相比得q(1+q)=20?q=2,a1=?a7+a8+a9=

4441,a1=-8?a1+a10=-7.故选(D). 211?S10=2-9.故选(B). 222

28.解:由q=2?S7=127.故选(C). 29.解:由an+2+an+1-2an=0?q+q-2=0?q=-2?S5=11. 30.解:由an+2+an+1=6an?q+q=6?q=2?a1=

24

2

2

17?S4=. 222

31.解:由a2a4=1?a1q=1?a1q=1;由S3=7?a1+a1q+a1q=7?q=32.解:由a2a3=2a1?a1q=2?a4=2;又由a4+2a7=

2

3

311,a1=4?S5=.故选(B). 24511?a7=?q=?a1=16?S5=31.故选(C). 24233.解:由x-5x+4=0的两根为1和4,又数列{an}是递增数列?a1=1,a3=4?q=2?S6=63.

34.解:由a2+a4=20,a3+a5=40?q=2?a1=2?Sn=2-2. 35.解:由an=(-2)?|an|=2?a1+|a2|+a3+|a4|=7. 36.解:由am=a1a2a3a4a5?q=q?m=11.故选(C).

189

37.解:由a1a2a3=5,a7a8a9=10?q=2?a4a5a6=a1a2a3q=52.故选(A).

m-1

10

n+1

n-1

n-1

38.解:由log3x=4?log3x=?2?x=9或

2

2

1.故选(D). 939.解:由x(6x+6)=(3x+3)?x=-3或-1(舍去)?第四项=-24.故选(A).

40.解:设其小数部分为α(0<α<1),整数部分为n(n∈N*),则α(n+α)=n?n

2

2

2

1?51?5

2221?5. 23.(1986年上海高考试题)在等比数列中,已知首项为解:由an=

92n-11()=?n=4.故选(B). 833912,末项为,公比为,则项数是( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 833