江苏省东海高级中学2008届高三奥赛班期末考试模拟

②当a??7时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有bn?bm?如果存在，3aa(1?an)?(1?an?1) 1?a1?a求出m的值；如果不存在，请说明理由. 解：（1）当n≥2时，an?Sn?Sn?1?整理得

an?a,所以{an}是公比为a的等比数列.（4分） an?1（2）?a1?a,?an?an?bn?anlg|an|?anlg|an|?nanlg|a|

①当a=2时，Tn?(2?2?22?...?n?2n),2Tn?[22?2?23?...?(n?1)?2n?n?2n?1]lg2, 两式相减，得?Tn?(2?22?23?...?2n?n?2n?1)lg2,

化简整理，得Tn?2[1?(1?n)?2n]lg2（9分）

②因为－1＜a＜1，所以：当n为偶数时，bn?nanlg|a|?0; 当n为奇数时，bn?nanlg|a|?0;

所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数.

b2k?2?b2ka2?2a(a?1)(k?)lg|a|,其中k?N* 21?a2k2a27722k22?, 当a??时，a?1?,所以2a(a?1)lg|a|?0.又因为391?a22所以当k?当k?7时，b2k?2?b2k,即b8?b10?b12?... 27时，b2k?2?b2k,即b8?b6?b4?b2 2故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有bn?bm（14分） 21、已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设b0?a． (an?1)（a为常数，且a?0,a?1）

a?12Sn?1，若数列{bn}为等比数列，求a的值； an第 17 页 共 24 页

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设cn?11?，数列{cn}的前n项和为 1?an1?an?1Tn，求证：Tn?2n?． 解：（Ⅰ）?S1?13a?1aa(a1?1),∴a1?0,当n?2时，an?Sn?Sn?1?an?an?1, aa?1a?1an?a，即{an}是等比数列． ∴an?a?an?1?an； an?12?（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn?2a(an?1)(3a?1)an?2aa?1，若{bn}为等比数列， ?1?nnaa(a?1)3a?23a2?2a?2,b3?, 则有b2?b1b3,而b1?3,b2?aa23a?223a2?2a?2111n)?3?故(，解得，再将代入得成立， 所以． b?3a?a?a?naa2333113n3n?11n（III）证明：由（Ⅱ）知an?()，所以cn? ???1n1n?13n?13n?1?131?()1?()333n?1?13n?1?1?11121?n?n?1?1?n?1?n?1?2?(n?n?1)， 3?13?13?13?13?13?111111111由n?n,n?1?n?1得n?n?1?n?n?1, 3?133?133?13?1331311所以cn?2?(n?n?1)?2?(n?n?1)，

3?13?133111111从而Tn?c1?c2???cn?[2?(?2)]?[2?(2?3)]??[2?(n?n?1)]

333333111111?2n?[(?2)?(2?3)???(n?n?1)]

3333331111?2n?(?n?1)?2n?．即Tn?2n?．

333322、 设函数y?f(x)的图象是曲线C1，曲线C2与C1关于直线y?x对称．将曲线C2向右

平移1个单位得到曲线C3，已知曲线C3是函数y?log2x的图象． （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）设an?nf(x)(n?N?)，求数列{an}的前n项和Sn，并求最小的正实数t，使Sn?tan对任意n?N都成立．

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?解：（Ⅰ）由题意知，曲线C3向左平移1个单位得到曲线C2，

?曲线C2是函数y?log2(x?1)的图象， 曲线C2与曲线C1关于直线y?x对称，

?曲线C2是函数y?log2(x?1)的反函数的图象，

y?log2(x?1)的反函数为y?2x?1，?f(x)?2x?1；

（Ⅱ）由题设：an?n?2n?n，n?N?， Sn?(1?12?1)?(2?22?2?)3n(?32???3?)n?(?n 2?) ?(1?21?2?22?3?22????n?2n)?(1?2?3????n) ?(1?21?2?22?3?22???n?2n)?n(n?1) 2n(n?1) ① Sn?(1?21?2?22?3?23???n?2n)?22Sn?(1?22?2?23?3?24???n?2n?1)?n(n?1) ②

23、设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合： ①an?1?an?an?2; ②an?M.其中n?N*, M是与n无关的常数. 2 （Ⅰ）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a4?2,S4?20，证明：{Sn}?W； （Ⅱ）设数列{bn}的通项为bn?5n?2n,且{bn}?W，求M的取值范围； （Ⅲ））设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}?W，试证cn?cn?1。

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，则a1?3d?2,4a1?6d?20，解得a1?8,d??2所以Sn?na1?由

n(n?1)d??n2?9n 2Sn?Sn?21?Sn?1?[(?n2?9n)?(n?2)2?9(n?2)?2(n?1)2?18(n?1)]=－1＜0 22Sn?Sn?292812?Sn?1,适合条件①；得又Sn??n?9n??(n?)?，所以当n=4或5时，

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Sn取得最大值20，即Sn≤20，适合条件②。综上所述， ?Sn??W

（Ⅱ）因为bn?1?bn?5(n?1)?2n?1?5n?2n?5?2n，所以当n≥3时，bn?1?bn?0，此时数列?bn?单调递减；当n=1，2时，bn?1?bn?0，即b1?b2?b3 因此数列?bn?中的最大项是b3?7，所以M≥7 （Ⅲ）假设存在正整数k，使得ck?ck?1成立，

由数列?cn?的各项均为正整数，可得ck?ck?1?1即ck?1?ck?1

因为

ck?ck?2?ck?1,所以ck?2?2ck?1?ck?2(ck?1)?ck?ck?2 2由 ck?2?2ck?1?ck及ck?ck?1,得ck?2?2ck?1?ck?1?ck?1,故ck?2?ck?1?1

ck?1?ck?3?ck?2,所以ck?3?2ck?2?ck?1?2(ck?1?1)?ck?1?ck?1?2?ck?3 因为

2依次类推，可得ck?m?ck?m(m?N*) 又存在M，使ck?M，总有M?m，故有ck?m?0，这与数列（cn）的各项均为正整数矛盾！

所以假设不成立，即对于任意n?N,都有cn?cn?1成立.

?x2y224、已知点A,B,C都在椭圆2?2?1(a?b?0)上，AB、AC分别过两个焦点F1、F2，当

ab21AC?F1F2?0时，有AF1?AF2?AF1成立.

9（1）求此椭圆的离心率；

??????????????????（2）设AF1?mF1B,AF2?nF2C. 当点A在椭圆上运动时，求证m?n始终是定值.

????????????????????????????????21????2解：（I）当AC?F1F2?0时，AF1?AF2cos?F1AF2?|AF2|?AF1?3|AF2|?|AF1|.

9?????????????3a?????a由椭圆定义，得|AF2|?|AF1|?2a,?|AF1|?,|AF2|?.

22????2?????29a2a2c22??4c2.?e??. 在Rt?AF1F2中，?|AF1|?|AF2|?|F1F2|,?44a2x2y22b22?,b?c.椭圆方程化为2?2?1，即x2?2y2?2b2. （II）由e?，得?1?e?2bb2a2第 20 页 共 24 页