江苏省东海高级中学2008届高三奥赛班期末考试模拟

（1）试证：y?f(x)在（－1，1）上是单调函数

（2）当a>1时，设x3，x4是方程ax?bx?1?0的两实根，且x3?x4，试判断x1，x2，

2x3，x4的大小关系

（1）∵y?g(x)的图像与x轴有两个交点，其交点横坐标分别为x1,x2(x1?x2)，则方程

a2x2?bx?1?0有两个不同的实数根，即有??b2?4a2?0(a?0)…. .…….….….2分

∴(b?2a)(b?2a)?0，∴有b??2a或b?2a，∴即?bb??1或??1 2a2abb?1或???1…. .…….………. .……….….4分 2a2ab于是二次函数y?f(x)图像的对称轴x??在（－1，1）的左侧或右侧，故y?f(x)

2a在（－1，1）上是单调函数…. .…….………. . ….………….……………….….6分 （2）∵x1,x2是方程ax?bx?1?0的两个实根

故有a2x12?bx1?1?0,a2x22?bx2?1?0…. . ….………….……………….….8分 ∴bx1??a2x12?1,bx2??a22x22?1，

2又f(x1)?ax12?bx1?1?a(1?a)x1

22 . ….…………. ………………………….….10分 f(x2)?ax2?bx2?1?a(1?a)x222∵当a?1时，y?f(x)的图像开口向上，与x轴的两相交点为(x3,0)(x4,0)13分 而点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))，在x轴下方，

∴有x3?x1?x2?x4….…………. …………………………….….14分 6、已知函数f(x)?x(x?a)(x?b),其中0?a?b.

(1)设f(x)在x?s和x?t处取得极值,其中s?t,求证: 0?s?a?t?b; (2)设A(s,f(s)),B(t,f(t)),求证:线段AB的中点C在曲线y?f(x)上; (3)若a?b?22,求证:过原点且与曲线y?f(x)相切的两条直线不可能垂直.

322解:(1)f(x)?x?(a?b)x?abx,∴f?(x)?3x?2(a?b)x?ab?0的两根为s,t,

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令f?(x)?g(x),∵0?a?b,∴g(0)?ab?0,g(a)?a(a?b)?0,g(b)?b(b?a)?0, 故有0?s?a?t?b.

s?tf(s)?f(t),y0?, 222(a?b)aba?b,st?故有s?t?,∴x0?, 33342f(s)?f(t)?(s3?t3)?(a?b)(s2?t2)?ab(s?t)??(a?b)3?ab(a?b).

27321(a?b)3?ab(a?b). ∴y0??273(2)设AB中点C(x0,y0),则x0?代入验算可知C在曲线y?f(x)上.

(3)过曲线上的点(x1,y1)的切线的斜率是31x2?2(a?b)x1?ab, 当x1?0时,切线的斜率k1?ab; 当x1?0时, 3x1?2(a?b)x1?ab?∴切线斜率k2??2a?by1, ?(x1?a)(x1?b),∴x1?2x11(a?b)2?ab. 412∵0?a?b?22,∴(a?b)??0,2?,∴k2??ab?2?

4∴k1k2?abk2?ab(ab?2)?(ab?1)2?1??1

∴k1k2??1,故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.

??????7、已知点集L?{(x,y)y?m?n}，其中m?(2x?b,1)n,?，又知点列(1?,b1Pn(an,bn)?L，P1为L与y轴的的交点．等差数列{an}的公差为1，n?N*．

（Ⅰ）求Pn(an,bn)；

?an,n?2k?1（Ⅱ）若f(n)??k?N*,f(k?11)?2f(k)，求出k的值；

?bn,n?2k（Ⅲ）对于数列{bn}，设Sn是其前n项和，是否存在一个与n无关的常数M，使若存在，求出此常数M，若不存在，请说明理由．

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Sn?M，S2n解：（1）由题设有L?{(x,y)y?2x?1故L为直线y?2x?1，它与y轴的交点为P}，1(0,1) （ 2分 ）

?a1?0，又数列{an}是以1为公差的等差数列，所以an?n?1，

bn?2an?1?2(n?1)?1?2n?1

故P,2n?1) （ 5分 ） n(n?1?an?n?1,n?2k?1??(k?N*) （ 5分 ） （2）f(n)???2n?1,n?2k?bn当k为奇数时，f(k?11)?2f(k)?2(k?11)?1?2(k?1)?k??；

当k为偶数时，f(k?11)?2f(k)?(k?11)?1?2(2k?1)?k?4． （ 10分 ） （3）?bn?2n?1,?Sn?n2，假设存在与n无关的常数M，使

Sn?M S2n1Snn21M?即，故存在与无关的常数，使（ 14分 ） ?M．?M?M?n4S2n(2n)248、已知A、B、C为△ABC的三个内角，设

f(A,B)?sin22A?cos22B?3sin2A?cos2B?2.

（1）当f (A, B)取得最小值时，求C的大小；

（2）当C??时，记h（A）＝f (A, B)，试求h（A）的表达式及定义域；

2（3）在（2）的条件下，是否存在向量p，使得函数h（A）的图象按向量p平移后得

到函数g(A)?2cos2A的图象？若存在，求出向量p的坐标；若不存在，请说明 理由.

（1）配方得f (A，B) = (sin2A-32

)+ (cos2B-1)2 +1， …………2分

22?sin2A???∴ [f (A，B) ]min = 1, 当且仅当??cos2B???32时取得最小值. …………2分

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?????3A?,A?,sin2A?,?????632??或?在△ABC中，? 故C = ??cos2B?1?B???B??.????66??2（2）C???A+B = ?，于是

22?或?.…………3分

322h（A）＝f(A,B)?sin22A?cos22B?3sin2A?cos2B?2

?sin22A?cos22????????A??3sin2A?cos2??A??2 ?2??2?3＝cos2A－3sin2A＋3=2cos(2A+?) + 3. …………4分

?∵A+B = ?，∴0?A?. …………1分

22（3）∵函数h（A）在区间?0,????????上是减函数，在区间,?上是增函数；而函数 ??3??32????上是减函数. 2?g(A)?2cos2A在区间?0,??∴函数h（A）的图象与函数g(A)?2cos2A的图象不相同，从而不存在满足条件的 向量p. …………2分 9、△ABC的三内角为A、B、C，已知复数z1=sinA+isinB,z2=cosA+icosB,z3=sin(A－B)+isin(A+B). (1)若∠C为钝角，比较|z1|与|z2|的大小； (2)若z3=z1z2,试判断△ABC的形状. 解:(1)由于0＜A+B＜

πππ,则0

(2)z1z2=(sinA+isinB)(cosA+icosB),

=(cosAsinA－sinBcosB)+isin(A+B).

由z3=z1z2,得sin(A－B)=sinAcosA－sinBcosB， ∴sinAcosB－cosAsinB=sinAcosA－sinBcosB. ∴cosB(sinA+sinB)=cosA(sinA+sinB). 又∵sinA+sinB≠0,∴cosA=cosB.∴A=B, 即△ABC是等腰三角形.

10、A有一只放有x个红球、y个白球、z个黄球的箱子(x、y、z≥0，x+y+z=6),B有一只放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子.两人各自从自己的箱子中任取一球，规定当两球同色时为A胜，异色时为B胜.

(1)用x、y、z表示A胜的概率;

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