（2019模拟题）高考数学素养提升练（四）文（含解析）

371

输出x＝1.75，故第三次执行后应满足判断框，此时m－n＝－＝－，故选B.

2449．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝ae＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )

A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e，b＝1 D．a＝e，b＝－1 答案 D

解析 y′＝ae＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.

??ae＋1＝2，

又∵切线方程为y＝2x＋b，∴?

?b＝－1，?

x－1

－1

x

即a＝e，b＝－1.故选D.

－1

10．(2019·汉中质检)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( )

A.C.

ππ

B. 23ππ D. 46

答案 B

解析 取B1C1的中点D1，连接A1D1，CD1，DD1，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为BC的中点，

∴AA1＝DD1且AA1∥DD1，∴AD∥A1D1且AD＝A1D1，∴∠CA1D1就是异面直线AD与A1C所成的角，AB＝AC＝2，BC＝2可以求出AD＝A1D1＝1，在Rt△CC1D1中，由勾股定理可求出CD1＝3，在Rt△AA1C中，由勾股定理可求出A1C＝2，显然△A1D1C是直角三角形，sin∠CA1D1＝

CD13＝， A1C2

π

∴∠CA1D1＝，故选B.

3

x2y2

11．(2019·四川绵阳二诊)已知椭圆C：＋＝1(m＞4)的右焦点为F，点A(－2,2)

mm－4

为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则m的取值范围是( )

A．(6＋25，25] B．[9,25] C．(6＋25，20] D．[3,5] 答案 A

解析 由椭圆方程，得：c＝m－

m－＝2，所以，椭圆的左焦点为E(－2,0)，

点A在点E的正上方，所以，AE＝2，由椭圆的定义，得：2a＝|PE|＋|PF|≤|PA|＋|AE|＋|PF|＝10，即a≤5，所以，m＝a≤25当P，A，E在一条直线上，且PE垂直x轴时，取等号，2a＝|PE|＋|PF|≥|PA|－|AE|＋|PF|＝6，即a≥3，所以，m＝a≥9，但因为点A(－4y2,2)在椭圆内部，所以，当x＝－2时，|y|＞2，即由＋＝1，得|y|＝

mm－4

2

2

2

2

m－4－

m－m＞2，化简，得m－12m＋16＞0，解得m＞6＋25.所以m的取值范围是(6＋25，25]．故选A.

12．(2019·镇海中学一模)已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，192

使得aman＝16a1，则＋的最小值为( )

mn311810A. B. C. D. 2433答案 B

解析 设正项等比数列{an}的公比为q，且q＞0，由a7＝a6＋2a5，得a6q＝a6＋简得q－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因为aman＝16a1，所以(a1q16a，则q21

2

2

2a6

，化

qm－1

)·(a1qn－1

)＝

m＋n－2

19?1?n9m?11?＋10＋＋＝16，解得m＋n＝6，所以＋＝(m＋n)?≥?＝?mn?mn6?mn?6??6

1

9

?

?10＋2?

n9m??＝，n9mn9m?8mn＝，当且仅当＝时取等号，此时?·?mnmn?3??m＋n＝6，

??

解得?9

n＝??2，

m＝，

3

2

因

198

为m，n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则＋＞，验证可得，当m＝2，n＝4

mn31911

时，＋取最小值为，故选B.

mn4

第Ⅱ卷 (选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．(2019·江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________． 5答案 3

122222

解析 这组数据的平均数为8，故方差为s＝×[(6－8)＋(7－8)＋(8－8)＋(8－8)

6522

＋(9－8)＋(10－8)]＝. 3

14．(2019·郑州一模)不等式x(sinθ－cosθ＋1)≥－3对任意θ∈R恒成立，则实数x的取值范围是________．

2

?3?答案 ?－，12? ?2?

解析 当x＝0时，x(sinθ－cosθ＋1)≥－3恒成立； 32

当x＞0时，sinθ＋sinθ≥－，

2

x1?2111?2

由sinθ＋sinθ＝?sinθ＋?－，可得sinθ＝－时，取得最小值－，

2?424?sinθ＝1时，取得最大值2， 13

即有－≥－，解得0＜x≤12；

4x32

当x＜0时，可得sinθ＋sinθ≤－，

x33

即有2≤－，解得－≤x＜0，

x2

?3?综上可得，实数x的取值范围是?－，12?.

?2?

?2－1，x≥0，?

15．(2019·佛山二模)设函数f (x)＝?

??x＋2，x＜0，

x

若函数y＝f (x)－a有两个不

同的零点，则实数a的取值范围是________．

答案 [0,2)

解析 若函数y＝f (x)－a有两个不同的零点， 得y＝f (x)－a＝0，

即f (x)＝a有两个不同的根，

即函数f (x)与y＝a有两个不同的交点， 作出函数f (x)的图象如图：

当x≥0时，f (x)≥0， 当x＜0时，f (x)＜2，

则要使函数f (x)与y＝a有两个不同的交点， 则0≤a＜2，

即实数a的取值范围是[0,2)．

16．(2019·佛山二模)某工厂现将一棱长为3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为________．

答案

2π 27

解析 圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心O′，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N在侧面的中线AM上．

∵正四面体棱长为3， 31

∴BM＝，O′M＝，BO′＝1，

22∴AO′＝2，

1设圆柱的底面半径为r，高为h，则0＜r＜. 2由三角形相似得：＝

12

2

r2－h2

，即h＝2－22r，

圆柱的体积V＝πrh＝2πr(1－2r)， ∵r(1－2r)≤?

2

2

?r＋r＋1－2r?3＝1，

?273??

1

当且仅当r＝1－2r即r＝时取等号．

3