高等数学（上）期末复习

（有些极限中带有积分的注意用此法） e. 泰勒公式（不常用）

补充：等价无穷小公式 当x→0时(※※) sinx～x tanx～x (1-cosx) ～1x2

2arcsinx～x arctanx～x

ln(1+x) ～x (e-1) ～x loga(1+x) ～（a-1）～xlna [(1+x)-1] ～αx 洛必达法则 若函数 ⑴

,

和

满足下列条件： ；

；

x

α

x

xlna

⑵ 在点a的某去心邻域内两者都可导，且 ⑶

（可为实数，也可为 ±∞）则

（Ⅱ）?型不定式求极限步骤

?a. 同除无穷大量 b. 洛必达法则

注：0·∞和∞-∞不定式可以转化为以上两种不定式。重点是出现分母！

（Ⅲ）1型不定式求极限步骤

a. 底数必须出现数字“1”，如果没有“1”则加“1”减“1”。

b. 底数中除了“1”以外的数配倒数。e之外的极限最好单独算。

5

∞

1n运用的重要极限为：lim（1?）?e

nn??计算此类问题的技巧：先配出来，再写原式，要写过程，防止出错。

2.极限，连续，可导，间断点问题。 ①某点何时有极限？验证左右极限是否相等 ②何时连续？左极限=函数值，右极限=函数值，同时成立。

③何时可导？连续，左导数=右导数

④间断点？分母为零的点，左右极限都存在即第一类间断点，否则，第二类间断点。 三、本章补充知识点： 1.反三角函数图像

6

2.幂指函数的变换：

3.指数函数的特殊性：对于limex??,lim?0要注意。

x???x???

f(x)g(x)?elnf(x)g(x)?eg(x)lnf(x) 7

第二章 导数与微分

一、概念和求导题型 1. 函数在一点处的导数： ①f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?y?lim ?x?x?0?x②f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)

x?x0f(x??x)?f(x)?x2. 导函数：y'?lim

?x?03. ?(x)在点x0可导是?(x)在点x0连续的充分条件。?(x)在点x0连续是?(x)在点x0可导的必要条件。即：如果函数y=?(x)在点x处可导，则函数在该点必连续。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。

4. 函数?(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。

5. 基本初等函数的导数公式（※※）

（tanx）＇＝secx (cotx)＇=-cscx

1(a)＇=alna (logax)＇=

xlnax

x

2

2

1(arcsinx)＇= (arctanx)＇=2 21?x1-x1（注：千万不要记混啊！！！！！）

16. 反函数的求导法则：[?（x）]＇=

f'(y)

-1

7. 高阶导数:

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