2019-2020学年江苏省淮安市高一下期末数学试卷((有答案))

......

可得f（1）取得最小值2，由f（即有f（q）∈[2，故答案为：[2，

）． ）．

）=f（）=，

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）已知sinα=（1）求（2）求

的值； 的值．

），sinα=，

．

【解答】解：（1）∵α∈（∴cosα=﹣∴=

（2）∵sin2α=2sinαcosα=cos2α=cos2α﹣sin2α=∴=

=

，

=sin

． cosα+cos

； ，

sinα

．

16．（14分）已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30． （1）求{an}的首项a1和公差d的值； （2）设数列{bn}满足bn=

，求数列{bn}的前项和Tn．

【解答】解：（1）因为{an}是等差数列，a2=4，S5=30， 所以

解得 a1=2，d=2

......

......

（2）由（1）知 即 所以bn=

=

于是数列{bn}的前n项和 Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1﹣）+（=1﹣

=

）+…+（）

17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]． （1）求频率分布直方图中a的值；

（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；

（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．

【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1， 解得a=0.006．…（4分）

（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[40，50）上为事件A．…（5分） 因为样本中评分在[40，50）的师生人数为：m1=0.004×10×50=2，记为1，2号

样本中评分在[50，60）的师生人数为：m2=0.006×10×50=3，记为3，4，5号…（7分） 所以从5人中任意取2人共有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4）， （2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种等可能情况， 2人中恰有1人评分在[40，50）上有：

（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种等可能情况．

......

......

∴2人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率为P（A）=（3）服务质量评分的平均分为：

=．…（10分）

=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2．…（13分）

∵76.2＞75，∴食堂不需要内部整顿．…（14分）

18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．

（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值； （2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．

【解答】解：（1）因为不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≤0的解集为[﹣1，2]， 所以方程ax2+（a﹣2）x﹣2=0有两根且分别为﹣1，2， 所以△=（a﹣2）2﹣4a?（﹣2）≥0且﹣1×2=

，解得：a=1；

（2）由ax2+（a﹣2）x﹣2≤0，得（x+1）（ax﹣2）≤0， 当﹣2＜a＜0时，解集为{x|x≤或x≥﹣1}， 当a=﹣2时，解集为R；

当a＜﹣2时，解集为{x|x≤﹣1或x≥}．

19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．

（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；

（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．

【解答】（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．

......

......

在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，

由余弦定理，得AC2=BA2+BC2﹣2BA?BCcos∠ABC，…（2分） 即 （（y﹣1）2=y2+（2x）2﹣2y?2x?cos60°， 所以

．…（5分）

．又因为

＞0，所以x＞1．

由AB﹣AC＜BC，得所以函数

的定义域是（1，+∞）．…（6分）

（2）M=30?（2y﹣1）+40x．…（8分） 因为即 M=10

．（x＞1），所以M=30

．…（10分）

），t＞0，…（12分）

令t=x﹣1，则t＞0．于是M（t）=10（16t+由基本不等式得M（t）≥10（2

）=490，

当且仅当t=，即x=时取等号．…（15分）

答：当x=km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．…（16分）

20．（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2﹣4n，数列{bn}中，b1=正整数

．

对任意

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）是否存在实数μ，使得数列{3n?bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由； （3）求证：

．

【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=﹣3，…（1分） 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣4n﹣（n﹣1）2+4（n﹣1）， 即an=2n﹣5，…（3分）

n=1也适合，所以an=2n﹣5．…（4分） （2）法一：

......