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全国名校高中数学圆锥曲线经典问题汇编(附详解)专题
圆锥曲线三种弦长问题的探究
在高考中,圆锥曲线的综合问题,常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体,而直线与圆锥曲线的弦长问题,是在圆锥曲线中常见一个重要方面,下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究: 一、一般弦长计算问题:
xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?,直线l1:??1被椭圆C截得的
abab弦长为22,且e?6,过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被3椭圆C截的弦长AB,
⑴求椭圆的方程;⑵弦AB的长度.
思路分析:把直线l2的方程代入椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式求解.
解析:⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22,得a2?b2?8,………①
c226 又e?,即2?,所以a2?3b2………………………….②
a33x2y2 联立①②得a?6,b?2,所以所求的椭圆的方程为??1.
6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?,∴l2的方程为:y?3?x?2?, 代入椭圆C的方程,化简得,5x2?18x?6?0 由韦达定理知,x1?x2?2186,x1x2? 55从而x1?x2??x1?x2??4x1x2?26, 5全国名校高中数学圆锥曲线经典问题汇编(附详解)专题
由弦长公式,得AB?1?kx1?x2?1??3??222646, ?55即弦AB的长度为
46 5点评:本题抓住l1的特点简便地得出方程①,再根据e得方程②,从而求得待定系数a2,b2,得出椭圆的方程,解决直线与圆锥曲线的弦长问题时,常用韦达定理与弦长公式。 二、中点弦长问题:
例2、过点P?4,1?作抛物线y2?8x的弦AB,恰被点P平分,求AB的所在直线方程及弦AB的长度。
思路分析:因为所求弦通过定点P,所以弦AB所在直线方程关键是
求出斜率k,有P是弦的中点,所以可用作差或韦达定理求得,然后套用弦长公式可求解弦长.
解法1:设以P为中点的弦AB端点坐标为A?x1,y1?,B?x2,y2?,
2则有y12?8x1,y2?8x2,两式相减,得?y1?y2??y1?y2??8?x1?x2?
又x1?x2?8,y1?y2?2 则k?y2?y1?4,所以所求直线AB的方程为y?1?4?x?4?,即x2?x14x?y?15?0.
解法2:设AB所在的直线方程为y?k?x?4??1
??y?k?x?4??1 由?2,整理得ky2?8y?32k?8?0.
??y?8x 设A?x1,y1?,B?x2,y2?,由韦达定理得y1?y2?, 又∵P是AB的中点,∴
y1?y28?1,∴?2?k?4 2k8k
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