2017-2018学年新苏教版高中数学必修1全册教案

2.2 函数的简单性质（1）

教学目标：

1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，进一步感知函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性；

2．通过函数的单调性的教学，渗透数形结合的数学思想，并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；

3．通过函数的单调性的教学，让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．

教学重点：

用图象直观地认识函数的单调性，并利用函数的单调性求函数的值域．

教学过程：

一、问题情境

如图（课本37页图2-2-1），是气温?关于时间t的函数，记为?＝f (t)，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？

问题：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ 二、学生活动

1．结合图2―2―1，说出该市一天气温的变化情况；

2．回忆初中所学的有关函数的性质，并画图

O 予以说明；

3．结合右侧四幅图，解释函数的单调性． 三、数学建构 1．增函数与减函数：

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间

O x O x y y＝f2(x) y y＝g2(x)

x O x y y＝f1(x) y y＝g1(x)

10 8 6 4 2 －2 ?/℃ 2 4 14 24 t/h I?A．

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如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I是单调增函数，区间I称为y＝f(x)的单调增区间．

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I是单调减函数，区间I称为y＝f(x)的单调减区间．

2．函数的单调性与单调区间：

如果函数y＝f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间

I上具有单调性．

单调增区间与单调减区间统称为单调区间．

注：一般所说的函数的单调性，就是要指出函数的单调区间，并说明在区间上是单调增函数还是单调减函数．

四、数学运用

例1 画出下列函数的图象，结合图象说出函数的单调性．

1．y＝x＋2x－1

2

22．y＝ x1

例2 求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．

x练习：说出下列函数的单调性并证明． 1．y＝－x＋2 五、回顾小结

利用图形，感知函数的单调性→给出单调性的严格意义上的定义→证明一个函数的单调性．

六、作业

课堂作业：课本44页1，3两题．

2

2

2．y＝＋1

x第24页 共82页

2.2 函数的简单性质（2）

教学目标：

1．进一步理解函数的单调性，能利用函数的单调性结合函数的图象，求出有关函数的最小值与最大值，并能准确地表示有关函数的值域；

2．通过函数的单调性的教学，让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．

教学重点：

利用函数的单调性求函数的值域．

教学过程：

一、问题情境 1．情境．

（1）复述函数的单调性定义； （2）表述常见函数的单调性． 2．问题．

结合函数的图象说出该天的气温变化范围．

二、学生活动 1．研究函数的最值；

2．利用函数的单调性的改变，找出函数取最值的情况； 三、数学建构

1．函数的值域与函数的最大值、最小值：

一般地，设y＝f(x)的定义域为A．若存在x0?A，使得对任意x?A， f(x)≤

10 8 6 4 2 －2 θ/℃ 2 4 14 24 t/h f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．

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若存在定值x0?A，使得对任意x?A，f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝ f(x0)．

注：（1）函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点，典型的例子就是二次函数y＝ax＋bx－c(a≠0)，当a＞0时，函数有最小值；当a＜0时，函数有最大值．

（2）利用函数的单调性，并结合函数的图象求函数的值域或函数的最值是求函数的值域或函数的最值的常用方法．

2．函数的最值与单调性之间的关系：

已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b．当x?[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x?[c，b] 时，f(x)是单调减函数．则f(x)在x＝c时取得最大值．反之，当x?[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x?[c，b] 时，f(x)是单调增函数．则f(x)在x＝c时取得最小值．

四、数学运用

例1 求出下列函数的最小值：

12

（1）y＝x－2x；（2）y＝，x∈[1，3]．

2

x变式：

（1）将y＝x－2x的定义域变为(0，3]或[1，3]或[－2，3]，再求最值． 1

（2）将y＝的定义域变为(－2，－1]，(0，3]结果如何？

2

x跟踪练习：求f(x)＝－x＋2x在[0，10]上的最大值和最小值．

例2 已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调减函数．试证明f(x)在x＝c时取得最大值．

变式：已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调增函数．试证明f(x)在x＝c时取得最小值．

例3 求函数f(x)＝x－2ax在[0，4]上的最小值．

练习：如图，已知函数y＝f(x)的定义域为[－4，7]，根据图象，说出它的最大值与最小值．

求下列函数的值域：

2

2

5 4 3 －1 O －4 y x －1 －2 3 5 7 第26页 共82页