江苏省如东中学2012～2013学年第一学期高三年级期中质量检测数学试卷2012.11.17

又a?0且a?1，所以实数a的取值范围是[3?22,1)?(1,3?22].…………14’

18．（本小题满分16分）某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三π

角形，DE、DF是两根支杆，其中AB＝2 m，∠EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜)．现在弧EF、线

4段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．

(1) 试将y表示为x的函数； (2) 试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？ 【解】(1) 因为∠EOA＝∠FOB＝2x，所以弧EF、AE、BF的长分别为π－4x,2x,2x.(3分)

π

连结OD，则由OD＝OE＝OF＝1，∠FOD＝∠EOD＝2x＋，

2

π所以DE＝DF＝1＋1－2cos?2x＋＝2＋2sin2x＝2(sinx＋cosx)．(6分)

2

所以y＝＝2k[22(sinx＋cosx)－2x＋2＋π](9分)

(2) 因为由y′＝4k[2(cosx－sinx)－1]＝0，(11分) π1π

解得cos(x＋)＝，即x＝.(13分)

4212

ππππππ

又x∈(0，)时，y′＞0， y在(0，)上增；x∈(，)时，y′＜0， y在(，)上减．

1212124124π

故当x＝时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳． (16分)

1219．（本小题满分16分）已知函数f(x)?13x?2x2?3x（x?R）的图象为曲线C． 3（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的

取值范围； （3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有

直线方程；若不存在，说明理由．

【解】（1）f?(x)?x?4x?3，则k?f?(x)?(x?2)2?1??1， ----------4分

2??k1??1（2）由（1）可知，?---------------------------------------------------------6分

???1??k得：x???,2?2?(1,3)?2????2,??；-------------------------------9分

?（3）设存在过点A(x1,y1)的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2,y2)，x1?x2，

过A(x1,y1)的切线方程是： y?(x1?4x1?3)x?(?同理：过B(x2,y2)的切线方程是y?(x2

22232x1?2x1)，-----------------11分 3232?4x2?3)x?(?x2?2x2)，

39

则有：x1?4x1?3?x2?4x2?3，得x1?x2?4，----------------------13分 又由? 即? ?22232322x1?2x1??x2?2x2， 33222(x1?x2)(x1?x1x2?x2)?2(x1?x2)(x1?x2)?0 31222(x1?x1x2?x2)?4?0，即x1(x1?x2)?x2?12?0 322 即(4?x2)?4?x2?12?0，x2?4x2?4?0

得x2?2，由x1?x2?4得x1?2，这与x1?x2矛盾，所以不存在----------16分 20．(本题满分16分) 设函数f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R． 1(1)若f?()=0，求函数f(x)的单调增区间；

3(2)求证：当0≤x≤1时，|f?(x)|≤max{f?(0),f?(1)}．(注：max{a，b}表示a，b中的最大值)

1解：(1)由f?()=0，得a=b． …………………………………………………………1分

31故f(x)= ax3－2ax2+ax+c．由f?(x)=a(3x2－4x+1)=0，得x1=，x2=1．…………………2分

3111(-∞，) (，1) x 1 (1，+∞) 333f?(x) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 1由表可得，函数f(x)的单调增区间是(-∞，)及(1，+∞) ．…………………………4分

3a?b2a2?b2?ab2

(2)f?(x)=3ax-2(a+b)x+b=3a(x?． )?3a3aa?ba?b①当≥1,或≤0时，则f?(x)在[0,1]上是单调函数，

3a3a所以f?(1)≤f?(x)≤f?(0)，或f?(0)≤f?(x)≤f?(1)，得证．…………8分 a2?b2?aba?b②当0＜≤f?(x)≤max{f?(0),f?(1)}． ＜1，即-a＜b＜2a，则?3a3a(i) 当-a＜b≤

a3a时，则0＜a+b≤． 22a2?b2?ab2a2?b2?2ab3a2?(a?b)212所以 f?(1)?＝＝≥a＞0．

3a3a3a4所以 |f?(x)|≤max{f?(0),f?(1)}． ……………………………………………………12分

(ii) 当

aa5＜b＜2a时，则(b?)(b?2a)＜0，即a2+b2－ab＜0． 22222225ab?a2?b2a2?b2?aba?b?ab4ab?a?b2所以b?=＞＞0，即f?(0)＞．

3a3a3a3a所以 |f?(x)|≤max{f?(0),f?(1)}．

综上所述：当0≤x≤1时，|f?(x)|≤max{f?(0),f?(1)}．……………………………16分

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如东中学高三第一学期期中质量检测附加题（教师版）2012.11.17

21．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)， ⑴求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标. 【解】⑴?AB?(?2,?1,3),AC?(1,?3,2),?cos?BAC????AB?AC|AB||AC|?1 2∴∠BAC＝60°，?S?|AB||AC|sin60?73 ⑵设a＝(x,y,z)，则a?AB??2x?y?3z?0,

??a?AC?x?3y?2z?0,|a|?3?x2?y2?z2?3

??解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1).

22．已知函数f(x)?ln(ax?1)?1?x,x≥0，其中a＞0． 1?x(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值； (2)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．

a2ax2?a?2??【解】(1)f?(x)? ． 2ax?1(1?x)(ax?1)(1?x)2因f(x)在x?1处取得极值，故f?(1)?0，解得a=1 (经检验)．注：不检验不扣分．……4分 ax2?a?2(2)f?(x)?，因x≥0,a?0 ，故ax+1＞0，1+x＞0．

(ax?1)(1?x)2当a≥2时，在区间(0,??)上f?(x)≥0，f(x)递增，f(x)的最小值为f(0)=1．

当0

（1）求异面直线AC与BP所成角的余弦值；

10 56 3（2）若M为BP中点，求P到平面AMC的距离；

1（3）是否存在M，使得二面角C?AM?B余弦值为，若存在，确定位置；若不存在，说明

3理由 不存在

24．已知函数f(x)?(2x?1)ln(2x?1)?a(2x?1)?x,(a?0).

（1）若函数f(x)在x?0处取极值，求a的值； Ⅱ 1（2）如图，设直线x??,y??x将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

2?122ⅠyⅢ O Ⅳ xⅣ四个区域（不含边界），若函数y?f(x)图象恰好位于其

中一个区域内，试判断其所在的区域并求其对应a的取值范围； （第24题） （3）试比较32?43?54????20122011与23?34?45????20112012的大小，并说明理由． 【解】?f(x)?(2x?1)ln(2x?1)?a(2x?1)2?x,(a?0) ?f'(x)?2ln(2x?1)?4a(2x?1)?1?f'(0)??4a?1?0?a?11，（经检验a?符合题意）…………………………3分

441（2）因为函数的定义域为(?,??)，且当x?0时，f(0)??a?0

2又直线y??x恰好通过原点，所以函数y?f(x)的图象应位于区域Ⅳ内

于是可得f(x)??x，即(2x?1)ln(2x?1)?a(2x?1)2?x??x………………………5分

?2x?1?0，?a?令h'(x)?0得x?x?(2?2ln(2x?1)ln(2x?1)ln(2x?1) 令h(x)?，?h'(x)? 2(2x?1)2x?12x?1e?111e?1，?x???x?(?,)时m'(x)?0，m(x)增， 22221e?1e?11,??)时m'(x)?0，m(x)减.?hmax(x)?h()? ? a? …………7分 22eeln(2x?1)e?1（3）由（2）知函数m(x)?时单调递减。 在x?(,??）2x?12函数p(x)??lnx在x?(e,??)时单调递减． xln(x?1)lnx?,?xln(x?1)?(x?1)lnx x?1x?ln(x?1)x?lnx(x?1)，即(x?1)x?x(x?1) ………………………………………………9分

?令x?3、4、???、2011,则43?34、54?45、???、20122011?20112012,

又32?43?23?34，所以32?43?54????20122011?23?34?45????20112012 …………10分

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