2018年高考数学专题复习突破训练(高考真题专题练)-构造函数解决高考导数问题

构造函数解决高考导数问题

1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数f(x)?e(2x?1)?ax?a，其中a?1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)?0，则a的取值范围是（ ） A．[?x333333,1) B．[?,) C．[,) D．[,1) 2e2e42e42e2. （2016·课标全国II卷理）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= ．

3.（2016·北京理）（本小题13分）

设函数f (x)=xea?x+bx，曲线y=f (x)在点(2,f (2))处的切线方程为y=(e－1)x+4， （I）求a,b的值； (II) 求f (x)的单调区间．

4.（2017·全国III卷文）（12分） 已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x． （1）讨论f(x)的单调性； （2）当a﹤0时，证明f(x)??

5. （2016?四川卷文）（本小题满分14分）

1e

设函数f (x)=ax2－a－lnx，g(x)= －x ，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.

xe（Ⅰ）讨论f (x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f (x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立.

3?2． 4a6.（2016?课标全国Ⅱ文）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?(x?1)lnx?a(x?1).

（I）当a?4时，求曲线y?f(x)在?1,f(1)?处的切线方程； （Ⅱ）若当x??1,???时，f(x)＞0，求a的取值范围.

7.（2017·天津文）（本小题满分14分）

设a,b?R，|a|?1.已知函数f(x)?x3?6x2?3a(a?4)x?b，g(x)?exf(x). （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）已知函数y?g(x)和y?ex的图像在公共点（x0，y0）处有相同的切线，

（i）求证：f(x)在x?x0处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式g(x)?ex在区间[x0?1,x0?1]上恒成立，求b的取值范围.

8.（2016·江苏）（本小题满分16分）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （1）设a=2，b=．

①求方程f（x）=2的根；

②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）－6恒成立，求实数m的最大值； （2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）－2有且只有1个零点，求ab的值．

12

9. （2016·山东理） (本小题满分13分) 已知f(x)?a?x?lnx??2x?1,a?R. 2x（I）讨论f(x)的单调性；

（II）当a?1时，证明f(x)＞f'?x??

10. (2017·江苏文)（本小题满分16分） 已知函数f3对于任意的x??1,2?成立. 2?x?=x3?ax2?bx?1(a?0,b?R)有极值，且导函数f??x?的极值点

是f?x?的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） (1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b2>3a;

(3)若f?x?，f??x? 这两个函数的所有极值之和不小于-

7，求a的取值范围. 2构造函数解决高考导数问题答案

1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数f(x)?e(2x?1)?ax?a，其中a?1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)?0，则a的取值范围是（ ） A．[?x333333,1) B．[?,) C．[,) D．[,1) 2e2e42e42e【答案】D

【解析】由题意，存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0，即存在唯一的整数x0，使ex0(2x0－1)＜a(x0－1)．

设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝a(x－1)．g′(x)＝ex(2x－1)＋2ex＝ex(2x＋1)，

11

－∞，－?时，g(x)单调递减；当x∈?－，＋∞?时，g(x)单调递增． 从而当x∈?2???2?0－（－1）

又h(x)＝a(x－1)必过点(1，0)，g(0)＝－1，当g(0)＝h(0)时，a＝＝1.

1－033

而g(－1)＝－，当g(－1)＝h(－1)时，a＝＝，

e1－（－1）2e3

要满足题意，则≤a＜1，选D.

2e

【点评】关键点拨：把“若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0”转化为“若存在唯一的整数x0，使得ex0(2x0－1)＜a(x0－1)”．

测训诊断：本题难度较难，主要考查导数知识的应用．考查转化与化归思想．

2.（2016·课标全国II卷理）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+１)的切线，则b= ． 【答案】1－ln 2

【解析】设y＝kx＋b切y＝ln x＋2的切点为(x1，y1)，切y＝ln (x＋1)的切点为(x2，y2)．由导kx＋b＝ln x1＋2＝y1，?kx2＋b＝ln（x2＋1）＝y2，???1

数的几何意义和切点的特征可知?① ② ?11

k＝.k＝，???x1?x2＋1

由①消去x1，y1整理可得b＝1－ln k，③ 由②消去x2，y2整理可得b＝－ln k＋k－1.④

联立③④可得1－ln k＝－ln k＋k－1，∴k＝2，∴b＝1－ln k＝1－ln 2.

【点评】关键点拨：关于函数的切线问题，我们要利用导数的几何意义，构建等量关系．还需注意切点既在函数图像上，也在切线上．对于切点不明确的，需要设出切点，再合理表达

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－?0－??e?