当前位置:首页 > 2018年高考数学专题复习突破训练(高考真题专题练)-构造函数解决高考导数问题
构造函数解决高考导数问题
1.(2015·课标全国Ⅰ理)设函数f(x)?e(2x?1)?ax?a,其中a?1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)?0,则a的取值范围是( ) A.[?x333333,1) B.[?,) C.[,) D.[,1) 2e2e42e42e2. (2016·课标全国II卷理)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
3.(2016·北京理)(本小题13分)
设函数f (x)=xea?x+bx,曲线y=f (x)在点(2,f (2))处的切线方程为y=(e-1)x+4, (I)求a,b的值; (II) 求f (x)的单调区间.
4.(2017·全国III卷文)(12分) 已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a﹤0时,证明f(x)??
5. (2016?四川卷文)(本小题满分14分)
1e
设函数f (x)=ax2-a-lnx,g(x)= -x ,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.
xe(Ⅰ)讨论f (x)的单调性; (Ⅱ)证明:当x>1时,g(x)>0;
(Ⅲ)确定a的所有可能取值,使得f (x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.
3?2. 4a6.(2016?课标全国Ⅱ文)(本小题满分12分) 已知函数f(x)?(x?1)lnx?a(x?1).
(I)当a?4时,求曲线y?f(x)在?1,f(1)?处的切线方程; (Ⅱ)若当x??1,???时,f(x)>0,求a的取值范围.
7.(2017·天津文)(本小题满分14分)
设a,b?R,|a|?1.已知函数f(x)?x3?6x2?3a(a?4)x?b,g(x)?exf(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知函数y?g(x)和y?ex的图像在公共点(x0,y0)处有相同的切线,
(i)求证:f(x)在x?x0处的导数等于0;
(ii)若关于x的不等式g(x)?ex在区间[x0?1,x0?1]上恒成立,求b的取值范围.
8.(2016·江苏)(本小题满分16分)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1). (1)设a=2,b=.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值; (2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
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9. (2016·山东理) (本小题满分13分) 已知f(x)?a?x?lnx??2x?1,a?R. 2x(I)讨论f(x)的单调性;
(II)当a?1时,证明f(x)>f'?x??
10. (2017·江苏文)(本小题满分16分) 已知函数f3对于任意的x??1,2?成立. 2?x?=x3?ax2?bx?1(a?0,b?R)有极值,且导函数f??x?的极值点
是f?x?的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a;
(3)若f?x?,f??x? 这两个函数的所有极值之和不小于-
7,求a的取值范围. 2构造函数解决高考导数问题答案
1.(2015·课标全国Ⅰ理)设函数f(x)?e(2x?1)?ax?a,其中a?1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)?0,则a的取值范围是( ) A.[?x333333,1) B.[?,) C.[,) D.[,1) 2e2e42e42e【答案】D
【解析】由题意,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使ex0(2x0-1)<a(x0-1).
设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1).g′(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),
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-∞,-?时,g(x)单调递减;当x∈?-,+∞?时,g(x)单调递增. 从而当x∈?2???2?0-(-1)
又h(x)=a(x-1)必过点(1,0),g(0)=-1,当g(0)=h(0)时,a==1.
1-033
而g(-1)=-,当g(-1)=h(-1)时,a==,
e1-(-1)2e3
要满足题意,则≤a<1,选D.
2e
【点评】关键点拨:把“若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0”转化为“若存在唯一的整数x0,使得ex0(2x0-1)<a(x0-1)”.
测训诊断:本题难度较难,主要考查导数知识的应用.考查转化与化归思想.
2.(2016·课标全国II卷理)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= . 【答案】1-ln 2
【解析】设y=kx+b切y=ln x+2的切点为(x1,y1),切y=ln (x+1)的切点为(x2,y2).由导kx+b=ln x1+2=y1,?kx2+b=ln(x2+1)=y2,???1
数的几何意义和切点的特征可知?① ② ?11
k=.k=,???x1?x2+1
由①消去x1,y1整理可得b=1-ln k,③ 由②消去x2,y2整理可得b=-ln k+k-1.④
联立③④可得1-ln k=-ln k+k-1,∴k=2,∴b=1-ln k=1-ln 2.
【点评】关键点拨:关于函数的切线问题,我们要利用导数的几何意义,构建等量关系.还需注意切点既在函数图像上,也在切线上.对于切点不明确的,需要设出切点,再合理表达
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