山东省泰安市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析

（1）证明：数列?an?1?为等比数列，并求数列?an?的通项公式； （2）求数列?an?2n?的前n项和Sn.

nn?12【答案】（1）见解析，an?2?1（2）Sn?2?n?2

【解析】 【分析】

（1）根据等差中项的定义得an?1?1?2an，然后构造新等比数列?an?1?，写出?an?1?的通项即可求 （2）根据（1）的结果，分组求和即可 【详解】

解：（1）由已知可得an?1?1?2an，即an?1?2an?1，可化为an?1?1?2?an?1?，故数列?an?1?是以

a1?1?2为首项，2为公比的等比数列.

即有an?1??a1?1??2n?1?2n，所以an?2n?1.

n（2）由（1）知，数列?an?2n?的通项为：an?2n?2?2n?1，

?Sn??21?22?23?L?2n???1?3?5?L?2n?1?

?2?1?2n?1?2?n2?2n?1?n2?2

n?12故Sn?2?n?2.

【点睛】

考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题. 19．记函数f(x)?x?（1）求m的值；

（2）若正数a，b，c满足abc?m，证明：ab?bc?ca?【答案】（1）m?1（2）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）将函数f?x?转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解； （2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】

1?2x?1的最小值为m. 29.

a?b?c11??3x?,x???22?311?解法一：（1）f(x)???x?,??x?

222?11?3x?,x??22?当x??1?1?时，f(x)?f????2， 2?2?当?11?1??x?，f(x)?f???1， 22?2?当x?1?1?时，f(x)?f???1， 2?2?所以m?fmin(x)?1

11??3x?,x???22?311?解法二：（1）f(x)???x?,??x?

222?11?3x?,x??22?如图

当x?1时，m?fmin(x)?1 2解法三：（1）f(x)?x?111?1??1?1?x??x???x????x???x? 222?2??2?2?1?x?1?1 2??1??1?x?x??0?????1??2??2?当且仅当?即x?时，等号成立.

21?x??0?2?当x?1时m?fmin(x)?1 2解法一：（2）由题意可知，ab?bc?ca?111??， cab9，

a?b?c因为a?0，b?0，c?0，所以要证明不等式ab?bc?ca?只需证明??111????(a?b?c)?9， ?cab?因为?13?111????(a?b?c)?333abc?9成立，

abc?cab?所以原不等式成立.

解法二：（2）因为a?0，b?0，c?0，所以ab?bc?ca?33a2b2c2?0，

a?b?c?33abc?0，

又因为abc?1，

所以(a?b?c)(ab?bc?ac)?33abc?33a2b2c2?9，

(ab?bc?ac)(a?b?c)?9

所以ab?bc?ca?9，原不等式得证.

a?b?c111??， cab9，

a?b?c补充：解法三：（2）由题意可知，ab?bc?ca?因为a?0，b?0，c?0，所以要证明不等式ab?bc?ca?只需证明??111????(a?b?c)?9， abc??2111???111?由柯西不等式得：????(a?b?c)??a??b??c???9成立，

abcabc????所以原不等式成立. 【点睛】

本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.

20．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠?BAD?60?，△PAD是边长为2的正三角形，PC?10，E为线段AD的中点．

（1）求证：平面PBC?平面PBE；

（2）若F为线段PC上一点，当二面角P?DB?F的余弦值为【答案】（1）见解析； （2）【解析】 【分析】

（1）先证明PE?AD，BE?AD可证AD?平面PBE，再由AD∥BC可证BC⊥平面PBE，即得证；

5时，求三棱锥B?PDF的体积． 55. 9uuuruuurE?xyz（2）以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设PF??PC(0剟?1)，求解面DBP的

urr5法向量m，面DFB的法向量n，利用二面角P?DB?F的余弦值为，可求解?，转化

5VB?PDF?VP?BDC?VF?BDC即得解.

【详解】

（1）证明：因为△PAD是正三角形，E为线段AD的中点， 所以PE?AD．

因为ABCD是菱形，所以AD?AB． 因为?BAD?60?，所以△ABD是正三角形， 所以BE?AD，所以AD?平面PBE． 又AD∥BC，所以BC⊥平面PBE． 因为BC?平面PBC， 所以平面PBC?平面PBE． （2）由（1）知BC⊥平面PBE， 所以BC?PB，PB?而PE?BE?PC2?BC2?6．

3，

所以PB2?PE2?BE2，PE?EB． 又PE?AD，

所以PE?平面ABCD．

以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系E?xyz．