陈家璧版 光学信息技术原理及应用习题解答(1-2章)

第一章习题

1.1 已知不变线性系统的输入为

g?x??comb?x? 系统的传递函数Λ??f?'?。若b取（1）b??.?（2）b??.?，求系统的输出g?x?。并画出?b?输出函数及其频谱的图形。

δ?x???? 图形从略， 答：（1）g?x??F? （2）g?x??F?δ?fx??δ?fx????δ?fx???????cos??πx? 图形从略。

1.2若限带函数f?x,y?的傅里叶变换在长度L为宽度W的矩形之外恒为零， （1）如果a?????????????，b?，试证明 LW

??x??x?sinc??sinc???f?x,y??f?x,y? ab?a??b??fxfy?F?f?x,y???F?f?x,y??rect??L,W?证明：

????F?f?x,y??rect?afx,bfy??

?x??x??f?x,y??f?x,y??F-1?F?f?x,y??rect?afx,bfy???sinc?sinc????ab?a??b???， b?，还能得出以上结论吗？ LW（2）如果a?答：不能。因为这时F?f?x,y??rect??

?fxfy,?LW????F?f?x,y??rect?afx,bfy?。 ?1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为

1

h?x,y???sinc??x???y?

试用频域方法对下面每一个输入fi?x,y?，求其输出gi?x,y?。（必要时，可取合理近似） （1）f??x,y??cos??x

g??x,y??F???F?f??x,y??F?h?x,y????F???F?cos?πx?F??sin?7x?δ?y???答：

??f???F?F?cos?πx?rect?x???F???F?cos?πx???cos?πx???????

（2）f??x,y??cos??πx?rect?答：

?x?rect?y? ???????????x????y??F??sin?7x?δ?y???g??x,y??F???F?f??x,y??F?h?x,y????F???F?cos??πx?rect?rect??????????????????x???f???y??F????F?cos?πx???????sinc?75fx?sinc???fy??rect?x???cos??πx?rect?rect?????????????????（3）f??x,y?????cos??πx??rect??x?

?????x?????g??x,y??F???F????cos??πx??rect????F??sin?7x?δ?y?????????????f???F????F???cos??πx?????sinc?75fx?δ?fy??rect?x?????????????fx????F??????δ?x??δ?fx????δ?fx???????sinc?75fx?δ?fy??rect??????????????x???f???F?????sinc?75fx?δ?fy?rect?x???F?????sinc?75fx?δ?fy???rect????????????答：

?x???rect??x?rect??y?? （4）f??x,y??comb答：

2

?x???rect??x?rect??y???F??sin?7x?δ?y???g??x,y??F???F?comb?fx?fx???fy??????????????????F??combfδfsincsincrect?????xy??????2????????????????rect?fx?????????????F????δf,f??.???δf??,f??.???δf??,f??.???δf??,f???????xyxyxyxy?????????F???0.25δ?fx,fy???.???δ?fx??,fy???.???δ?fx??,fy???.???δ?fx??,fy???.???δ?fx??,fy??????.????.???cos?2πx???.???cos?6πx?

1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 gi?x???comb??rect??????x?????x???Λ?x?

???????对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1）H?f??rect??f?? ????f??f???rect?? ??????（2）H?f??rect?略.

1.5 若对二维函数

h?x,y??asinc?ax?

?抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。

?答：?F?h?x,y???Fasinc?ax??Λ????fx??δ?fy? ?a? 3

?X?????Bx?a;Y??

也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a，在y方向抽样间隔无限制。

1.6 若只能用a?b表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 gs?x,y??g?x,y??comb????x?X??y???x??y??comb???rect??rect?? ??Y???a??b?试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复g?x,y?。 答：因为a?b表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复g?x,y?也有贡献，不可省略。

1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”f?x,y????x?，系统对线脉冲的输出响应称为线响应L?x?。如果系统的传递函数为Hfx,fy，证明：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿fx轴的截面分布H?fx,??。

证明：F?L?x???F?δ?x??h?x,y???δfyHfx,fy?H?fx,??

1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间fx?Bx，fy?By之外恒为零，系统输入为非限带函数g??x,y?，输出为g?x,y?。证明，存在一个由脉冲的方形阵列

'??????''构成的抽样函数g?它作为等效输入，可产生相同的输出g?x,y?，并请确定g? ?x,y?，?x,y?。

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