2020届高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第1讲直线与圆教学案

第1讲 直线与圆

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对于直线的考查，主要是求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离等问题．一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程，用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；对于直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，含参数问题为命题热点，一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，涉及圆的解答题有逐渐强化的趋势．

[真题体验]

1．(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)＋y＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )

A．[2,6] C．[2，32]

B．[4,8] D．[22，32]

2

2

解析：A [由已知A(－2,0)，B(0，－2)．圆心(2,0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝|2＋0＋2|

＝22，又圆的半径为2.∴点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为2，最大值211

为32，又|AB|＝22.∴△ABP面积的最小值为Smin＝×22×2＝2，最大值为Smax＝×22

22×32＝6.]

2．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C [本题考查直线与圆的位置关系．

点P(cos θ，sin θ)是单位圆x＋y＝1上的点，直线x－my－2＝0过定点(2,0)，当直线与圆相离时，d可取到最大值，设圆心到直线的距离为d0，d0＝1，可知，当m＝0时，dmax＝3，故选C.]

3．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．

解析：设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0， 圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则：

2

2

2

2

21＋m，d＝d0＋1＝2

21＋m2

＋F＝0，??

?1＋1＋D＋E＋F＝0，??4＋0＋2D＋F＝0，

2

2

2

D＝－2，??

解得?E＝0，

??F＝0，

2

则圆的方程为x＋y－2x＝0. 答案：x＋y－2x＝0

4．(2018·全国Ⅰ卷)直线y＝x＋1与圆x＋y＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.

解析：圆方程可化为x＋(y＋1)＝4，∴圆心为(0，－1)，半径r＝2，圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝

答案：22

[主干整合]

1．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．

22

＝2，∴|AB|＝22－d＝24－2＝22.

2

2

2

2

2

2

2．两个距离公式

|C1－C2|

(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝2. A＋B2|Ax0＋By0＋C|

(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

A2＋B23．圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)＋(y－b)＝r(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.

(2)圆的一般方程：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F＞0)，圆心为?－，－?，半径为r2??2＝

2

2

2

2

2

2

2

?DE?D2＋E2－4F2

. 4．直线与圆的位置关系的判定

(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r?相交；d＝r?相切；

d＞r?相离．

(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0?相交；Δ＝0?相切；Δ＜0?相离．

热点一 直线的方程及其应用

[例1] (1)(2020·大连模拟)“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的( )

A．充要条件 C．必要不充分条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

[解析] A [由ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行，得a(a－1)＝2，∴a＝－1，a＝2.经检验当a＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的充要条件．]

(2)(2020·厦门模拟)过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点

P(0,4)的距离为2的直线方程为________________．

??x－2y＋3＝0，

[解析] 由?

??2x＋3y－8＝0，

??x＝1，

得???y＝2.

所以l1与l2的交点为(1,2)，当所求直线的

斜率不存在时，所求直线为x＝1，显然不符合题意．

故设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)， 即kx－y＋2－k＝0，

|－2－k|4

因为P(0,4)到所求直线的距离为2，所以2＝，所以k＝0或k＝. 2

31＋k所以所求直线的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0. [答案] y＝2或4x－3y＋2＝0

(3)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.

①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________． ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．

[解析] 设，线段A1B1的中点

为E1(x1，y1)，则Q1＝＝2y1.

因此，要比较Q1，Q2，Q3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点纵坐标的大小，作图(图略)比较知Q1最大．