2019年全国卷理数高考试题Word版（含答案）

uuuruuuurA(2,0,0)，A1(2，0，4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A?(0,0,?4)，A1M?(?1,3,?2)，uuuuruuuurA1N?(?1,0,?2)，MN?(0,?3,0)．

uuuur??m?A1M?0m?(x,y,z)设为平面A1MA的法向量，则?uuur，

??m?A1A?0???x?3y?2z?0，所以?可取m?(3,1,0)．

???4z?0．uuuur??n?MN?0，n?(p,q,r)rAMN 设为平面1的法向量，则?uuuu??n?A1N?0．???3q?0，所以?可取n?(2,0,?1)．

???p?2r?0．于是cos?m,n??m?n2315??，

|m‖n|2?5510． 5所以二面角A?MA1?N的正弦值为19．解：设直线l:y?3x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?． 235?3?（1）由题设得F?,0?，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设可得x1?x2?．

22?4?9 / 13

3?12(t?1)?y?x?t由?，可得9x2?12(t?1)x?4t2?0，则x1?x2??． 292??y?3x从而?12(t?1)57?，得t??． 92837x?． 28所以l的方程为y?uuuruuur（2）由AP?3PB可得y1??3y2．

3??y?x?t由?，可得y2?2y?2t?0． 22??y?3x所以y1?y2?2．从而?3y2?y2?2，故y2??1,y1?3．

1代入C的方程得x1?3,x2?．

3413． 3故|AB|?20．解：（1）设g(x)?f'(x)，则g(x)?cosx?11，g'(x)??sinx?. 2(1?x)1?x???????当x???1,?时，g'(x)单调递减，而g'(0)?0,g'()?0，可得g'(x)在??1,?有唯一零点，

2?2?2??设为?.

???则当x?(?1,?)时，g'(x)?0；当x???,?时，g'(x)?0.

?2???????所以g(x)在(?1,?)单调递增，在??,?单调递减，故g(x)在??1,?存在唯一极大值点，

2??2??10 / 13

???即f'(x)在??1,?存在唯一极大值点.

2??（2）f(x)的定义域为(?1,??).

（i）当x?(?1,0]时，由（1）知，f'(x)在(?1,0)单调递增，而f'(0)?0，所以当x?(?1,0)时，f'(x)?0，故f(x)在(?1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x?0是f(x)在(?1,0]的唯一零点.

??????（ii）当x??0,?时，由（1）知，f'(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减，而f'(0)=0，

22?????????????f'???0，所以存在????,?，使得f'(?)?0，且当x?(0,?)时，f'(x)?0；当x???,??2??2??2????时，f'(x)?0.故f(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减.

?2?????????????

又f(0)=0，f???1?ln?1???0，所以当x??0,?时，f(x)?0.从而，f(x) 在?0,?

?2??2??2??2?

没有零点.

??????（iii）当x??,??时，f'(x)?0，所以f(x)在?,??单调递减.而

?2??2????所以f(x)在?,??有唯一零点.

?2????f???0，f(?)?0，?2?（iv）当x?(?,??)时，ln(x?1)?1，所以f(x)<0，从而f(x)在(?,??)没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点. 21．解：X的所有可能取值为?1,0,1.

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P(X??1)?(1??)?， P(X?0)????(1??)(1??)，P(X?1)??(1??)，所以X的分布列为

（2）（i）由（1）得a?0.4,b?0.5,c?0.1.

因此pi=0.4pi?1+0.5 pi+0.1pi?1，故0.1?pi?1?pi??0.4?pi?pi?1?，即

pi?1?pi?4?pi?pi?1?.

又因为p1?p0?p1?0，所以?pi?1?pi?(i?0,1,2,L,7)为公比为4，首项为p1的等比数列． （ii）由（i）可得

48?1p8 ?p8?p7?p7?p6?L?p1?p0?p0 ??p8?p7???p7?p6??L??p1?p0??p1 .

3由于p8=1，故p1?3，所以 84?144?11p4 ??p4?p3???p3?p2???p2?p1???p1?p0??p1 ?.

3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4?常小，说明这种试验方案合理.

1?0.0039，此时得出错误结论的概率非25712 / 13

21?t24t2?y??1?t?2?1，且x?????22．解：（1）因为?1???1，所以C的直角坐标方程222?21?t?2??1?t??1?t?22y2?1(x??1). 为x?42l的直角坐标方程为2x?3y?11?0.

?x?cos?,（2）由（1）可设C的参数方程为?（?为参数，?π???π）.

?y?2sin?π??4cos?????11|2cos??23sin??11|3???C上的点到l的距离为.

77π?2π?时，4cos?????11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.

3?3?当???23．解：（1）因为a2?b2?2ab,b2?c2?2bc,c2?a2?2ac，又abc?1，故有

a2?b2?c2?ab?bc?ca?ab?bc?ca111???.

abcabc所以

111???a2?b2?c2. abc（2）因为a, b, c为正数且abc?1，故有

(a?b)3?(b?c)3?(c?a)3?33(a?b)3(b?c)3(a?c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)

?3?(2ab)?(2bc)?(2ac)

=24.

所以(a?b)3?(b?c)3?(c?a)3?24.

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