变化率与导数、导数的计算学案(高考一轮复习)

(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；

(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法)．

题型二：导数的计算 [例2] 求下列函数的导数： (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)； x＋x5＋sinx

(2)y＝；

x2xx

(3)y＝－sin(1－2cos2)．

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[规律总结] 导数运算时应注意的问题：

(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可

以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

变式训练2

求下列函数的导数：

lnx

(1)y＝3xex－2x＋e；(2)y＝2 x＋1

题型三：导数的几何意义 14

[例3] 已知曲线y＝x3＋. 33(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．

[规律总结] 求解过曲线上某点的切线方程时，应注意到这条切线与曲线的切点不一定是该点．

变式训练3

曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1，x∈[1,2]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐

标为__________．

题型四：导数几何意义的综合应用

[例4] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋( )

2521

A．－1或－ B．－1或 6447257

C．－或－ D．－或7

4644

变式训练4

11(2013·惠州质检)已知f(x)＝lnx，g(x)＝x3＋x2＋mx＋n，直线l与函数f(x)，g(x)的图

32

15

x－9都相切，则a等于4

象都相切于点(1,0)．

(1)求直线l的方程； (2)求函数g(x)的解析式．

创新探究——导数几何意义规范解答

13

[例题] (2012·重庆)设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))

2x2处的切线垂直于y轴．

(1)求a的值； (2)求函数f(x)的极值．

[思路点拨] (1)对f(x)求导，运用f′(1)＝0求出a的值；(2)由f′(x)＝0解得x值，结合函数定义域，讨论在各区间上f′(x)的符号，从而确定极值．

链接高考：

1．(2012·广东)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为__________．