变化率与导数、导数的计算学案(高考一轮复习)

20XX年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算

一．学习目标：

1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义；

1

2．能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝的导数；

x

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

二．学习重、难点：

1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；

2．学习难点：理解导数的几何意义.

三．学习方法：讲练结合

四．自主复习：

1．导数的概念

(1)函数在x＝x0处的导数

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是__________________________＝lim

Δx→0

Δy， Δx

称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或y′|x＝x.

0

(2)导函数：当上式中的x0看作变量x时，函数f ′(x)为f(x)的________．

(3)导数的几何意义：f ′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的________，相应的切线方程是_____________________．

2．基本初等函数的导数公式

原函数 f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝lnx 3.运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝_________________；

(2)[f(x)·g(x)]′＝________________________；

f?x?(3)[]′＝_______________________ (g(x)≠0)． g?x?

五．复习前测：

1．已知函数f(x)＝sinx＋lnx，则f′(1)的值为( ) A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos1

导函数 f ′(x)＝_______ f ′(x)＝_______ f ′(x)＝_______ f ′(x)＝_____ (a>0) f ′(x)＝_____ f ′(x)＝______ (a>0，且a≠1) f ′(x)＝_____ 2．函数y＝xcosx－sinx的导数为( ) A．xsinx B．－xsinx C．xcosx D．－xcosx

1

3．某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度

2是( )

A．14 m/s2 B．4 m/s2 C．10 m/s2 D．－4 m/s2

?x，x>0

4．已知函数f(x)＝?，则f′(1)f(0)＝__________.

?cosx，x≤0

5．已知函数f(x)＝xex，则f′(x)＝__________；函数f(x)图象在点(0，f(0))处的切线方程为__________．

要点点拨：

1．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

2．曲线的切线的求法

若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．

(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))．

第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)． 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1.

第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程.

六．复习过程：

题型一：利用导数的定义求函数的导数 [例1]

(1)求函数y＝x2的导数．

(2)求函数y＝x在x＝1处的导数．

Δy

[思路点拨] 解决本题的关键是正确的求出Δy，，然后求出极限即可．

Δx.

[规律总结] 注意[f(x0)]′，f′(x0)与f′(x)的区别：f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数值，其导数一定为0，即[f(x0)]′＝0，而f′(x)是函数f(x)的导函数，是一个函数，是f(x)求导后的函数关系.

变式训练1

一质点运动的方程为s＝8－3t2.