二次函数的存在性问题之菱形(含答案)

中考数学狙击重难点系列专题

解得：a=1，c=﹣8．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8． ∵y=（x﹣1）2﹣9， ∴D（1，﹣9）．

（2）解：设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，

∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．

设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2．

∴直线BC的解析式为y=2x﹣8． 将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6， ∴F（1，﹣6）．

设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．

当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2 ， 整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣

．

，

）．

设M点坐标为（x，x2﹣x﹣2） 若四边形MO M′C是菱形， 则M M′垂直平分OC， ∵OC=2，

∴M点的纵坐标为﹣1， ∴

x2﹣x﹣2=﹣1，

，x2=

（不合题意，舍去）， ，﹣1）

x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点， （x2+2x﹣8）=

（x+1）2﹣3．

存在点M，使四边形MO M′C是菱形，如图1所示：

∴点M的坐标为（﹣

当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2 ， 整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．

∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）． 综上所述，点M的坐标为（﹣

，

）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

解得：x1=

∴M点的坐标为（

9.【答案】（1）解：令y=0，则x2﹣x﹣2=0， 解得：x1=4，x2=﹣1， ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， 令x=0，则y=﹣2， ∴C（0，﹣2） （2）解：

10.【答案】（1）解：∵y= ∴y=

（x+4）（x﹣2）=

∴D（﹣1，﹣3）．

（2）解：在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．

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∵点E与点B关于y轴对称， ∴∠OBC=∠OEC． ∴∠OBC=∠GEF． ∵∠PBA=

∠OBC，

∴∠PBA=∠EFB． ∴EF=EB=4． ∵OE=2，OC= ，

∴EC=

．

∵GF∥OC， ∴△FGE∽△COE． ∴

=

=

，即

=

=

，

解得：FG= ，EG= ，

∴F（﹣

，

）．

设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得：，

解得：k=﹣

，b=1，

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∴直线BP的解析式为y=﹣ x+1． 将y=﹣

x+1与y=

x2+

x﹣

联立，

解得：x=﹣ ，x=2（舍去），

∴y= ．

∴P（﹣

，

）；

（3）解：设P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b， ∴﹣k+b=0， ∴b=k， ∴y=kx+k． 由

得：

x2+（

﹣k）﹣

﹣k=0

∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2 ， 解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1， ∵点M是线段PQ的中点， ∴由中点坐标公式的点M（

k﹣1，

k2）．

假设存在这样的N点如图2，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由

，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，

∴N（3k﹣1，3k2﹣3）． ∵四边形DMPN是菱形， ∴DN=DM，

∴（3k）2+（3k2）2=（ ）2+ k2+3）2 ，

整理得：3k4﹣k2﹣4=0，

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∵k2+1＞0， ∴3k2﹣4=0， 解得k=± ∵k＜0， ∴k=﹣ ∴P（﹣3 ∴PM=DN=2 ∵PM∥DN，

∴四边形DMPN是平行四边形， ∵DM=DN，

∴四边形DMPN为菱形，

∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2 1，1）．

﹣

，

﹣1，6），M（﹣ ，

﹣1，2），N（﹣2

﹣1，1）．

，

CE交PB与点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．首先证明EF=EB=4，然后证明△FGE∽△COE，依据相似三角形的性质可得到FG=

，EG=

，故可得到

点F的坐标，然后可求得BP的解析式，最后可求得直线与抛物线的交点坐标即可；（3）设P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题． 11.【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点， ∴

，解得

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）解：存在．

若AM为菱形对角线，则AM与CN互相垂直平分， ∴N（0，﹣3）； 若CM为菱形对角线，则 ∴

【解析】【分析】（1）抛物线的解析式为y=

（x+4）（x﹣2），然后利用

或

；

，

若AC为菱形对角线，则CN=AM=CM，

设M（m，0），由CM2=AM2 ， 得m2+32=（m+1）2 ， 解得m=4， ∴CN=AM=CM=5， ∴N（﹣5，3）．

配方法可求得点D的坐标；（2）在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长

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综上可知存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个：N1（0，﹣3），

，

，N4（﹣5，3）

解得x=

，

12.【答案】（1）解：把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得

，解得

，

∵点P在直线BC下方的抛物线上， ∴x=

，

，﹣

）．

∴这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3 （2）解：存在．理由如下：

如图1中，作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E．

∴满足条件的点P的坐标为（

13.【答案】（1）解：∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上 ∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3， 所以，点B（﹣2，3）， 又∵抛物线经过原点O， ∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，

∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上， ∴ 解得：

， ．

x2﹣x

则PO=PC，

∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C， ∴OP′=OP，CP′=CP， ∴OP′=OP=CP′=CP， ∴四边形POP′C为菱形， ∵C点坐标为（0，﹣3）， ∴E点坐标为（0，﹣ ∴点P的纵坐标为﹣ 把y=﹣

∴抛物线的解析式为y= （2）解：结论：存在．

）， ，

，

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代入y=x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3=﹣