二次函数的存在性问题之菱形(含答案)

中考数学狙击重难点系列专题

17. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

18. 已知，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）

物线

对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形

为菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

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答案解析部分

一、综合题

1.【答案】（1）解：∵抛物线y=ax+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴ y=

x2﹣

x﹣2；

x2﹣

x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，

，解

，解得：

，抛物线解析式为

∵四边形BNDM是菱形， ∴MN垂直平分BD， ∴n=4+ ∴M（ ∴N（

设D（m，0）， ∵DP∥y轴， ∴E（m， ∵OD=4PE， ∴m=4（

m2﹣

m﹣2﹣

m+2），

∴m=5，m=0（舍去）， ∴D（5，0），P（5，

），E（5，

）， ×5×

﹣

1×

=

；

∵四边形BNDM是菱形， ∴MN∥BD，MN=BD=MD=1， 过M作MH⊥x轴于H， ∴MH2+DH2=DM2 ，

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2

（2）解：令y=

， ， ，﹣

）， ）；

∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则 得：

，∴y=

x﹣2，

∵M，N关于x轴对称，

②以BD为边，如图2，

m2﹣

m﹣2），

m﹣2），P（m，

∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD= （3）解：存在，设M（n， ①以BD为对角线，如图1，

n﹣2），

即（

n﹣2）2+（n﹣5）2=12 ，

∴n1=4（不合题意），n2=5.6， ∴N（4.6， ），

同理（ n﹣2）2

+（4﹣n）2

=1，

∴n1=4+ （不合题意，舍去），n2=4﹣ ，

∴N（5﹣

，

），

③以BD为边，如图3，

过M作MH⊥x轴于H， ∴MH2+BH2=BM2 ， 即（

n﹣2）2+（n﹣4）2=12 ，

∴n1=4+ ，n2=4﹣ （不合题意，舍去），

∴N（5+

，

）， 综上所述，当N（

，﹣

）或（4.6，

）或（5﹣

，，

），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．

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【解析】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y= x﹣2，设D（m，0），得到E

（m，

m﹣2），P（m，

m2﹣

m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，

m=0（舍去），求得D（5，0），P（5， ），E（5，

），根据三角形的

面积公式即可得到结论；（3）设M（n，

n﹣2），①以BD为对角线，根

据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+

，于是得到N（

，﹣

）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论． 2.【答案】（1）解：直线解析式

，令 ，得 ；令

，得

．∴ 、

．∵点 、

在抛物线 上，∴

，解得

，∴抛物线解析式

为：

．令

，解得：

或 ，∴ ．

（2）解：

，设

，①当

时，如答图

所示．

）或（5+

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