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中考数学狙击重难点系列专题

二次函数的存在性问题之菱形

1. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．

2. 如图，直线 与 轴、轴分别交于 、两点，抛物线

经过 、两点，与 轴的另一个交点为 ，连接

．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）点

（1）求抛物线解析式；

（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积； （3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

在抛物线上，连接 从点 出发，沿线段 由 、

向

运动， 、

，当 由 向 、

运动，同时点

时，求点 从点

的

坐标； （3）点 沿线段 点到达 ，使

出发，

的运动速度都是每秒 个单位长度，当

、

、

、

为顶点的四边

点时， 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点

的坐标；若不存在，说明理由．

运动过程中的某一时刻，以

形为菱形？若存在，直接写出点

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3. 如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．

4. 综合与探究

（1）求抛物线的解析式；

（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y= （k

如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物

线y=﹣x2+bx+c经过点A，C． ＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．

（1）求抛物线的解析式

（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与

直线AC和抛物线分别交于点P、N

若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是

否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写

出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

注：二次函数y=ax2+bx +c（a≠0）的顶点坐标为（﹣

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， ）

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5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．

6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣ 侧．

），顶点为D，对称

轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右

（1）求OA、OB的长．

（2）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．

（1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

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7. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．

8. 如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求直线AB和抛物线的解析式．

M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、（2）

M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．

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