北京市高考数学 二模试题解析分类汇编系列六 5 数列 文

S?min{S(x1,x2,x3)}.

xk??1k?1,2,3当xk??1(k?1,2,3)时,

11322S?[(x1?x2?x3)2?(x12?x2?x3)]?(x1?x2?x3)2?.

22213因为|x1?x2?x3|?1,所以S????1,且当x1?x2?1,x3??1,时S??1,

22因此Smin??1 (Ⅲ)S?S(x1,x2,L,xn)?1?i?j?n?xixj

?x1x2?x1x3?L?x1xn?x2x3?L?x2xn?L?xn?1xn.

固定x2,x3,L,xn,仅让x1变动,那么S是x1的一次函数或常函数, 因此S?min{S(1,x2,x3,L,xn),S(?1,x2,x3,L,xn)}.

同理S(1,x2,x3,L,xn)?min{S(1,1,x3,L,xn),S(1,?1,x3,L,xn)}.

S(?1,x2,x3,L,xn)?min{S(?1,1,x3,L,xn),S(?1,?1,x3,L,xn)}.

以此类推,我们可以看出,S的最小值必定可以被某一组取值?1的x1,x2,L,xn所达到,于是S?min{S(x1,x2,L,xn)}.

xk??1k?1,2,L,n当xk??1(k?1,2,L,n)时,

11n22S?[(x1?x2?L?xn)2?(x12?x2?L?xn)]?(x1?x2?L?xn)2?.

222当n为奇数时,因为|x1?x2?L?xn|?1, 所以S??1(n?1),另一方面,若取x1?x2?L?xn?1?1, 2211?L?xn??1,那么S??(n?1),因此Smin??(n?1)

22xn?1?xn?12?12?216．（2013北京西城高三二模数学文科）已知集合Sn?{(x1,x2,L,xn)|x1,x2,L,xn是正整数

1,2,3,L,n的一个排列}(n?2),函数

?1,x?0, g(x)????1,x?0.对于(a1,a2,…an)?Sn,定

义:bi?g(ai?a1)?g(ai?a2)?L?g(ai?ai?1),i?{2,3,L,n},b1?0,称bi为ai的满意指数.排列b1,b2,L,bn为排列a1,a2,L,an的生成列. (Ⅰ)当n?6时,写出排列3,5,1,4,6,2的生成列;

?,a2?,L,an?为Sn中两个不同排列,则它们的生成列也不同; (Ⅱ)证明:若a1,a2,L,an和a1(Ⅲ)对于Sn中的排列a1,a2,L,an,进行如下操作:将排列a1,a2,L,an从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:新的排列的各

项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2. (Ⅰ)解:当n?6时,排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,?2,1,4,3

?,a2?,L,an?的生成列是与(Ⅱ)证明:设a1,a2,L,an的生成列是b1,b2,L,bn;a1?,L,bn?. b1?,b2?,a2?,L,an?第一个不同的项为ak与ak?,从右往左数,设排列a1,a2,L,an与a1?,an?1?an??1,L,ak?1?ak??1,ak?ak?. 即:an?an?,bn?1?bn??1,L,bk?1?bk??1,下面证明:bk?bk? 显然 bn?bn由满意指数的定义知,ai的满意指数为排列a1,a2,L,an中前i?1项中比ai小的项的个数减去比ai大的项的个数.

由于排列a1,a2,L,an的前k项各不相同,设这k项中有l项比ak小,则有k?l?1项比ak大,从而bk?l?(k?l?1)?2l?k?1.

?,a2?,L,an?中有l?项比ak?小,则有k?l??1项比ak?大,从而同理,设排列a1??2l??k?1. bk?,a2?,L,ak?是k个不同数的两个不同排列,且ak?ak?, 因为 a1,a2,L,ak与a1?. 所以 l?l?, 从而 bk?bk?,a2?,L,an?的生成列也不同 所以排列a1,a2,L,an和a1(Ⅲ)证明:设排列a1,a2,L,an的生成列为b1,b2,L,bn,且ak为a1,a2,L,an中从左至右

第一个满意指数为负数的项,所以 b1?0,b2?0,L,bk?1?0,bk??1

依题意进行操作,排列a1,a2,L,an变为排列ak,a1,a2,Lak?1,ak?1,L,an,设该排列的生

?,b2?,L,bn? 成列为b1??b2??L?bn?)?(b1?b2?L?bn) 所以 (b1?[g(a1?ak)?g(a2?ak)?L?g(ak?1?ak)]?[g(ak?a1)?g(ak?a2)?L?g(ak?ak?1)] ??2[g(ak?a1)?g(ak?a2)?L?g(ak?ak?1)]??2bk?2. 所以,新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2

17．（2013北京西城高三二模数学文科）已知等比数列{an}的各项均为正

数,a2?8,a3?a4?48. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设bn?log4an.证明:{bn}为等差数列,并求{bn}的前n项和Sn.

(Ⅰ)解:设等比数列{an}的公比为q,依题意 q?0 因为 a2?8,a3?a4?48, 两式相除得 q?q?6?0, 解得 q?2, 舍去

2q??3 所以 a1?a2?4 qn?1n?1所以数列{an}的通项公式为 an?a1?q?2

n?1n?2n?11 因为 bn?1?bn???, 22221所以数列{bn}是首项为1,公差为d?的等差数列

2(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 bn?log4an?n(n?1)n2?3nd?所以 Sn?nb1? 2418．（2013

北京东城高三二模数学文科）已知数列

{an},a1?1,a2n?an,a4n?1?0,a4n?1?1(n?N*).

(Ⅰ)求a4,a7;

(Ⅱ)是否存在正整数T,使得对任意的n?N*,有an?T?an. (共13分)

解:(Ⅰ)a4?a2?a1?1; a7?a4?2?1?0. (Ⅱ)假设存在正整数T,使得对任意的n?N*,有an?T?an. 则存在无数个正整数T,使得对任意的n?N*,有an?T?an. 设T为其中最小的正整数.

若T为奇数,设T?2t?1(t?N*), 则a4n?1?a4n?1?T?a4n?1?2T?a4(n?t)?1?0. 与已知a4n?1?1矛盾. 若T为偶数,设T?2t(t?N*),

则a2n?T?a2n?an, 而a2n?T?a2n?2t?an?t 从而an?t?an.

而t?T,与T为其中最小的正整数矛盾.

综上,不存在正整数T,使得对任意的n?N*,有an?T?an

19．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且

a3?S3?9.

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)若等比数列{bn}满足b1?a2,b4?S4,求{bn}的前n项和公式. 解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d.因为a3?S3?9, 所以??a1?2d?9 解得a1??3,d?6

?3a1?3d?9所以an??3?(n?1)?6?6n?9

(II)设等比数列{bn}的公比为q,因为b1?a2?(?3)?6?3,b4?S4=-12+36=24,

b1(1?qn)?3(2n?1). 所以3q?24,解得，q?2. 所以{bn}的前n项和公式为Tn?1?q320．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）已知数列{an}的前n项和为Sn,且