北京市高考数学 二模试题解析分类汇编系列六 5 数列 文

【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】5：数列

一、选择题

1 ．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）若数列{an}满足:存在正整数T,对于任意正整

数n都有an?T?an成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T. 已知数列{an}满足

?an?1, an?1，a?n?1=?1a,1?m(m?0),? 0?a?an?1.n 则下列结论中错误．．

的是 （A．若m?45,则a5?3 B．若a3?2,则m可以取3个不同的值 C．若m?2,则数列{an}是周期为3的数列 D．?m?Q且m?2,数列{an}是周期数列 D A若m?4415，则a1?5?1，所以a2?a?5?1，a513?a2?1?4?1?4?1，a14??4?1，14a3a5?a4?1?4?1?3，所以A成立。B.若a3?2。若a3?a2?1?2，则a2?3。若a1?1?3，

则a1?4。若

1a?3，则a111131?。若a3??2，则a2?，若a1?1?，则a1?。若13a22221a?1，则a1?2，不合题意。所以满足a3?2的m可以取3个不同的值，正确。C. 12a1?m?2?1，则a2?a1?1?2?1?1，a113?a??2?1?1，所以22?1a4?a3?1?2?1?1?2。此时数列{an}是周期为3的数列，所以正确。所以不正确的选

D.

2 ．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知数列?an?中,an??4n?5,等比数列?bn?的公比q满足q?an?an?1(n?2)且b1?a2,则b1?b2?L?bn?

（ ）

）

A．1?4n B．4n?1

1?4nC．D．4n?13

3

B

因为q?a?an?1n?1nn?1??4，b1?a2??3，所以bn?b1q??3?(?4)，所以

bn??3?(?4)n?1?3?4n?1，即

?bn?是公比为4的等比数列，所以

b3(1?4n)1?b2?L?bn?1?4?4n?1，选B. 3 ．（2013北京东城高三二模数学文科）在数列{an}中,若对任意的n?N*,都有

an?2a?an?1?t(t为常数),则称数列{an} 为比等差数列,t称为比公差.现给出以下命题: n?1an①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;

{a2n?1②若数列1n}满足an?n2,则数列{an}是比等差数列,且比公差t?2;

③若数列{cn}满足c1?1,c2?1,cn?cn?1?cn?2(n?3),则该数列不是比等差数列;④若{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则数列{anbn}是比等差数列.

其中所有真命题的序号是

（A．①② B．②③ C．③④

D．①③

D

①若等比数列的公比为q,则an?2a?an?1?q?q?0为常数，所以一定是比等差数列。当等差n?1an数列的公差d?0时，有

an?2a?an?1a?1?1?0，为比等差数列。当等差数列的公差d?0，n?1nan?2a?an?1a不是常数，所以此时不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故①正n?1nn?122确。②若数列{an}满足a2aa?12(n?1)2nn?n2，则n?2a?n?2?2不是常数，所以数列n?1an(n?2)(n?1)，

{an}不是比等差数列，所以错误。③由c1=1,c2=1,cn?cn?1?cn?2(n?3)得c3?c1?c2?1?1?2。c4?c3?c2?1?2?3，因为

c3c?c2?2?1?1，c4c321c?3????，2c13c2212所以

c3?c2?c4?c3，即③数列不是比等差数列。所以③正确。④若{an}是等差数列，{bn}c2c1c3c2是等比数列，不妨设an,bnnn?n?(?1)，则anbn?n?(?1)，所以a2n?2(n?2)(?1)n?an?1(n?1)?(?1)n?1a?(n?1)(?1)n?1??n?2所

以

n?1n?1，

a?(?1)n??n?1nn?n，

）

an?2an?1n?2n?1n?1n?2????(?)??不是常数，所以数列{anbn}不是比等差数列，an?1ann?1nnn?1所以④错误。所以正确的命题是①③,选D.

二、填空题

4 ．(2013北京海淀区二模数学文科试题及答案） 已知数列{an}是等比数列，且

a1?a3?4，

a4?8，则a5的值为____.

223由a1?a3?4，a4?8得a1q?4，a1q?8，解得q??2。当q?2时，a1?1，此时

a5?a1q4?16。当q??2时，a1??1，此时a5?a1q4??16.

5 ． (2013北京房山区二模数学文科试题及答案）数列{an}是公差不为0的等差数列，a1?1，

且a3是a1,a9的等比中项，则数列{an}的通 项公式an? .

n

22因为a3是a1,a9的等比中项，所以a1a9?a3，即a1(a1?8d)?(a1?2d)，解得d?a1?1，所

以an?a1?(n?1)d?n。

6 ． （2013北京东城区二模数学文科试题及答案）各项均为正数的等比数列?an?的前n项和

为Sn，若a3?2，S4?5S2，则a1的值为 ，S4的值为 ．

115 22若公比q?1，则S4?4a1,S2?2a1，不满足S4?5S2，所以q?1。所以由a3?2，S4?5S2得

a1(1?q4)a1(1?q2)1?5?a1q?2，，解得q?2或q??2（舍去），a1?。所以a2?1，

1?q1?q22115所以S4?5S2?5(a1?a2)?5?(?1)?。

22

7．（2013北京朝阳二模数学文科试题）已知等差数列?an?的公差为?2,a3是a1与a4的等比

中项,则首项a1?_,前n项和Sn?__.

2?8；?n?9n，n?N

22因为a3是a1与a4的等比中项，所以a1a4?a3，即a1(a1?3d)?(a1?2d)，所以

a1(a1?6)?(a1?4)2，解得a1?8，所以Sn?na1?n(n?1)n(n?1)d?8n??2?9n?n2，22n?N?。

n8．（2013北京朝阳二模数学文科试题）数列{2?1}的前n项1,3,7,L,2?1组成集合

nAn?{1,3,7,L,2n?1}(n?N?),从集合An中任取k(k?1,2,3,L,n)个数,其所有可能

的k个数的乘积的和为Tk(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记Sn?T1?T2?L?Tn.例

如

当

n?1时,

A1?{1},

T1?1,

S1?1;当

n?2时,A2?{1,3},T1?1?3,T2?1?3,S2?1?3?1?3?7.则当n?3时,S3?______;试写出Sn?______. 63；2n(n?1)2?1

S3?11?31?21?636当n?3时，A3?{1,3,7}，T1?1?3?7?11，T2?1?3?1?7?3?7?31，

T3?1?3?7?21，所以

3。由于

S1?1?21?1n(n?1)2，

S2?1?3?1?3?7?2?1，S3?11?31?21?63?2?1，所以猜想Sn?2?1。

9．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）等差数列{an}中,a3?5,a5?3,则该数列的

前10项和S10的值是_______. 25

在等差数列中，由a3=5,a5=3,得a1?7,d??1，所以S10?10?7?三、解答题

10．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）已知等差数列?an?的前n项和为Sn. (I)若a1?1,S10?100,求{an}的通项公式;

2(II)若Sn?n?6n,解关于n的不等式Sn?an?2n.

10?9?(?1)?25。 2解:(I)设{an}的公差为d

因为a1?1,

S10?a1?a10?10?1002 所以a1?1,a10?19 所以d?2 所以 an?2n?1

2S?n?6n n(II)因为

2S?(n?1)?6(n?1) 所以an?2n?7,n?2 n?2n?1当时,