2015年全国高中数学联赛参考答案（B卷word版）

BDABACDCBFBD????,即．② 30 分 BFAFAFCFFCDCDCBD2?结合①、②，得，即CD?BD?CE． 40 分 CEDC3．（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组(a,b,c)(a,b,c?2015)满足： abc?1,bac?1,cab?1．

证明：考虑c?ab?1的特殊情况，此时c|ab?1成立．10 分

由a|bc?1知，a|b(ab?1)?1，故a|b?1．① 由b|ac?1知，b|a(ab?1)?1，故b|a?1．②

为满足①、②，取a?k,b?k?1(k?N*),此时c?ab?1?k?k?1．40 分 当正整数k>2015时，(a,b,c)?(k,k?1,k2?k?1)均符合条件，因此满足条件的正整数组(a,b,c)有无穷多个． 50 分

4．（本题满分50分）给定正整数m,n(2?m?n)，设a1,a2,???,am是1,2,???,n中任取m个互不相同的数构成的一个排列，如果存在k??1,2,???,m?使得ak?k为奇数，或者存在整数

2k,l(1?k?l?m)，使得ak?al，则称a1,a2,???,am是一个“好排列”，试确定所有好排列

的个数．

解：首先注意，“存在k?{1,2,???,m}，使得ak?k为奇数”是指存在一个数与它所在的位置序号的奇偶性不同；“存在整数k,l(1?k?l?m)，使得ak?al”意味着排列中存在逆序，换言之，此排列不具有单调递增性． 将不是好排列的排列称为“坏排列”，下面先求坏排列的个数，再用所有排列数减去坏排列数．注意坏排列同时满足：（1）奇数位必填奇数，偶数位必填偶数；（2）单调递增．10 分

下面来求坏排列的个数．设P是坏排列全体，Q是在1,2,???,[n?m]中任取m项组成的2单调递增数列的全体．对于P中的任意一个排列a1,a2,???,am，定义

a?ma1?1a2?2,,?,m)． 222a?kn?m]}．因为ak?n,k?m，故由条件（1）可知，所有的k均属于集合{1,2,?,[再

22a?k}（k?1,2,???,m）单调递增．故如上定义的f给出了P?Q的由条件（2）可知，{k2一个映射．显然．f是一个单射． 30 分

下面证明f是一个满射．事实上，对于Q中任一个数列b1,b2,???,bm，令ak?2bk?1f(a1,a2,???,am)?(（k?1,2,???,m）．因为整数bk?1?bk，故bk?1?bk?1，从而

ak?1?ak?2(bk?1?bk)?1?1(1?k?m?1)

故a1,a2,???,am单调递增．

n?m]?m?n，及ak?k?2bk为偶数，故a1,a2,???,am为P中又a1?1，而am?2[2的一个排列．显然f(a1,a2,???,am)?(b1,b2,???,bm)，故f是一个满射．

综上可见，f是P?Q的一个一映射，故|P|?|Q|．40分

n?m]}的所有m元子集一对应，故|Q|?Cm又Q中的所有数列与集合{1,2,?,[n?m，[]22

5

从而|P|?Cmn?m．

[2]最后，我们用总的排列数Pn?mn!扣除坏排列的数目，得所有的排列的个数为

(n?m)!n!?Cmn?m． 50 分 [](n?m)!2 6