2015年全国高中数学联赛参考答案（B卷word版）

2015年全国高中数学联赛（B卷） （一试）

一、填空题（每个小题8分，满分64分

?a?x1．已知函数f(x)??x?alog2x?[0,3]x?(3,??)，其中a为常数，如果f(2)?f(4)，则a的取

值范围是 ． 答案：（-2,+∞）．解：f(2)?a?2,f(4)?2a，所以a?2?2a，解得：a??2． 2．已知y?f(x)?x3为偶函数，且f(10)?15，则f(?10)的值为 ．

答案：2015．解：由己知得f(?10)?(?10)3?f(10)?103，即f(?=2015． 10)1(0?)f2000?3．某房间的室温T（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）的函数关系为：

T?asint?bcost,t?(0,??)，其中a,b为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则a?b的最大值是 ．

答案：52．解：由辅助角公式：T?asint?bcost?条件sin??a2?b2sin(t??)，其中?满足

ba2?b2,cos??aa2?b2，则函数T的值域是[?a2?b2,a2?b2]，室

内最大温差为2a2?b2?10，得a2?b2?5． 故a?b?2(a2?b2)?52,等号成立当且仅当a?b?52． 24．设正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是单位正方形，如果二面角A1?BD?C1的

?，则AA1? ． 36答案：．解：取BD的中点O，连接OA, OA1 , OC1．

2?则∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因此∠A1OC1=,

3又△OA1C1是等边三角形．故A1O= A1C1=2，所以

大小为

226． AA1?AO?AO?(2)?()?1225．已知数列?an?为等差数列，首项与公差均为正数，且a2,a5,a9依次成等比数列，则使得 a1?a2?????ak?100a1的最小正整数k的值是 ．

答案：34．解：设数列?an?的公差为d,则a2?a1?d,a5?a1?4d,a9?a1?8d．因为

2222，即(a1?d)(a1?8d)?(a1?4d)a2,a5,a9依次成等比数列，所以a2a9?a52．化简上式得

到：a1d?8d2．又d?0，所以a1?8d．由

a1?a2???ak?a1a1k?k(k?1)dk(k?1)2?k??100．

a116解得kmin?34．

226．设k为实数，在平面直角坐标系中有两个点集A?(x,y)x?y?2(x?y)和

??B??(x,y)kx?y?k?3?0?，若A?B是单元集，则k的值为 ．

答案：?2?3．解：点集A是圆周?:(x?1)2?(y?1)2?2，点集B是恒过点 P （-1,3）

1

的直线l:y?3?k(x?1)及下方（包括边界）．作出这两个点集知，当A自B是单元集时，直线l是过点P的圆?的一条切线．故圆?的圆心 M (1, l）到直线l的距离等于圆 的半径

2，故

|k?1?k?3|k?12?2．结合图像，应取较小根

k??2?3．

y2x27．设P为椭圆点A(1,1),B(0,?1)，则PA?PB的最大值为 ． ??1上的动点，

43答案：5．解：取F ( 0 , l )，则 F, B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4．因

此，| PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|≤4+|FA|=4+l= 5．

3,1)时，|PA|+|PB|最大值为5． 28．正2015边形A1A2???A2015内接于单位圆O，任取它的两个不同顶点Ai,Aj，

当P在AF延长线与椭圆的交点(?则OAi?OAj?1的概率为 ．

?????????671答案．解：因为|OAi|?|OAj|?1，所以

1007?????????2????2?????2??????????????????|OAi?OAj|?|OAi|?|OAj|?2OAi?OAj?2(1?cos?OAi,OAj?)．

??????????????????1cos?OA,OA???故OAi?OAj?1的充分必要条件是，即向量OAi,OAj的夹角ij22?不超过．

3????对任意给定的向量OAi，满足条件OAi?OAj?1的向量可的取法共有：

2015?13426712???2?p??OA?OA?1种，故的概率是：． ??2?1342ij??2015?2014100732015??二、解答题

9．（本题满分16分）数列?an?满足a1?3,对任意正整数m,n，均有am?n?am?an?2mn （1）求?an?的通项公式； （2）如果存在实数c使得

1?c对所有正整数k都成立，求c的取值范围． ?i?1ai解： (l)在am?n?am?an?2mn中令m?1可以得到?an?的递推公式：an?1?a1?an?2n?an?(3?2n)．

因此?an?的通项公式为：

[5?(2n?1)](n?1)?n(n?2)．8 分

2k?1（事实上，对这个数列?an?,a1?1?3?3，并且 an?a1??(3?2k)?3?n?1kam?n?(m?n)(m?n?2)?(m?n)2?2(m?n)?(m2?2m)?2(n2?2n)?2mn ?am?an?2mn．

所以an?n(n?2) 是数列?an?的通项公式．

11111 (2)注意到：??(?)，所以

ann(n?2)2nn?2

2

k111111113111?(?)?(1???)??(?)． ??n?222k?1k?242k?1k?2n?1ann?12nkk31313故??,并且??(k??)，因此c的取值范围是c?[,??)．16 分

444n?1ann?1ank

10．（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4为四个有理数，使得：

31??aa1?i?j?4?????24,?2,?,?,1,3?，求a?aij12?a3?a4的值．

28??解：由条件可知，aiaj(1?i?j?4)是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，

由此知，a1,a2,a3,a4的绝对值互不相等，不妨设|a1|?|a2|?|a3|?|a4|，则

|ai|a|j|?(i1?j?中最小的与次小的两个数分别是最大与次大的|a1||a2|及|a1||a3|，4两个数分别是|a3||a4|及|a2||a4|，从而必须有

1?aa??,?128??aa?1, 10 分 ?13?a2a4?3,???a3a4??24,113于是a2??,a3?,a4???24a1．

8a1a1a2132故{a2a3,a1a4}?{?2,?24a1}?{?2,?}，15分

8a121结合a1?Q，只可能a1??．

41111由此易知，a1?,a2??,a3?4,a4??6或者a1??,a2?,a3??4,a4?6．

4242检验知这两组解均满足问题的条件．

9． 20 分 4x2y211．（本题满分20分）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(c,0)，存在经过点F

ab的一条直线l交椭圆于A,B两点，使得OA?OB，求该椭圆的离心率的取值范围．

故a1?a2?a3?a4??解：设椭圆的右焦点F的坐标为（c, 0)．显然l不是水平直线，设直线l的方程为x?ky?c，点A、B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)．将直线 l的方程与椭圆方程联立，消去x得 (bk?a)y?24kbcy?b(c?a)?0．

22222222?24kb2cy?y2??22,?2?1bk?a由韦达定理? 2224b?yy?b(c?a)??.12?b2k2?a2b2k2?a2?????????OA?OB?x1x2?y1y2?(ky1?c)(ky2?c)?y1y2?(k2?1)y1y2?kc(y1?y2)?c2

b424kb2c?k2b2?a2c2?b42?(k?1)(?22)?kc(?22)?c?．5分

bk?a2bk?a2b2k2?a22 3

????????因为OA?OB等价于OA?OB?0，故由上式可知，存在满足条件的直线l，等价于存

?k2b2?a2c2?b4a2c2?b42?0,k?2在实数k，使得． ①

b2k2?a2b(1?c2)224显然存在k满足①等价于ac?b?0．② 15 分

2224又b?a?c，所以②等价于a2c2?(a2?c2)2?0，两边除以a 得到

c2c22?(1?2)?0,即e2?(1?e2)2?0． 2aa5?1由于e?1，解得：e?[,1)．20 分

2

加试 1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数a,b,c都有：

(a?bc)2?(b?ac)2?(c?ab)21?，并确定等号成立的充要条件． 2222(a?b)?(b?c)?(c?a)

解：当a,b,c不全相等时，原不等式等价于

2(a?bc)2?2(b?ca)2?2(c?ab)2?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2．上式可化简为 2a2b2?2b2c2?2c2a2?12abc??2ab?2bc?2ca, 即 a2b2?b2c2?c2a2?ab?bc?ca?6abc． ①

考虑到a2b2,b2c2,c2a2,ab,bc,ca?0，故由平均不等式得，

a2b2?b2c2?c2a2?ab?bc?ca?66a2b2?b2c2?c2a2?ab?bc?ca?6abc． ②

因此原不等式成立． 20 分

下面考虑等号成立的充分必要条件．

注意到②中等号成立的充分必要条件是ab?bc?ca?ab?bc?ca． 若abc?0，则ab?bc?ca，显然 a?b?c，与条件矛盾！

若abc?0，则ab?bc?ca?0，但a,b,c不全为0，不妨设a?0，则b?c?0．类似可得其余两种情况，即a,b,c中恰有一个非零．这时原不等式中等式确实成立．

因此，原不等式等号成立当且仅当a,b,c中有两个是0，另一个为正数．40 分 2．（本题满分40分）如图，在等腰?ABC中，AB?AC，设I为其内心，设D为?ABC内的一个点，满足I,B,C,D四点共圆，过点C作BD的平行线，与AD的延长线交于E．求证：

222222CD2?BD?CE．

证明：连接BI,CI．设I, B , C, D四点在圆O上，延长DE交圆 O于F，连接FB，FC．

因为BD||CE，所以∠DCE=180°-∠BDC=∠BFC．

又由于∠CDE=∠CDF=∠CBF，所以△BFC∽△DCE，从而

DCBF?． CEFC再证明AB, AC与圆O相切． 事实上，因为∠ABI=

11∠ABC=∠ACB=∠ICB，所以AB与圆 22O相切．同理AC与圆O相切． 20 分

因此有△ABD∽△AFB，△ACD∽△AFC，故

4