从圆幂到交比，从蒙日定理到金鸣定理 - 图文

从圆幂到交比，从蒙日定理到金鸣定理

金鸣 mjwu@126.com

类比于用于多线共点与多点共线的圆幂、根轴、根心及蒙日定理，本文引入平行线交比的新概念，从交比出发到行轴、行心，直至金鸣定理，导出一种的既简明又行之有效的几何证明新方法——平行交比法。

一、圆幂与交比 圆幂 【定义】 过点P的直交比 【定义】设二条相互平行的直线构成一组平行线线L与圆O交于A、B，pl。过点P的直线Ｌ与平行线pl交于A与B，则点P则点P到圆O的圆幂定义到平行线pl的交比定义为j(P, pl)= PA/PB。（其中约定为m(P, O)= PA*PB。不混|PA|<=|PB|）。不混淆时也记为j(P). 淆时也记为m(P)。 如下图所示， 当P在平行线pl之外，PA与PB当P在圆外，PA与同向，j(P)>0；当P在平行线pl的某一直线上，j(P)=0;PB同向，m(P)>0；当P在当P在平行线之内，PA与PB反向，j(P)<0。 圆上，m(P)=0；。当P在圆内，PA与PB反向，m(P)<0。 可知，j(P)与直线L方向无关，而且，| j(P, pl) |=d(P, pl_a)/d(P, pl_b)<=1。其中，d表示点到直线的距离，平 行线pl由直线pl_a和pl_b组成。显然，当动点P在可知，m(P)与直线L方向无关，而且当点P在平行于平行线pl的某一直线上移动时，其j(P)相等。 圆O的同心圆上时，其m(P)相等。

二、根轴与行轴 根轴 【定义】 对于2个圆，行轴 【定义】 对于2组平行线，动点P到平行线pl1动点P到圆O1与到圆O2与到平行线pl2的交比相等的点的集合, 即满足j(P, 的圆幂相等之点集合，即pl1)=j(P, pl2)的点P的全体，称为平行线pl1与平行线满足m(P, O1)=m(P, O2)的pl2的行轴。记为H(pl1, pl2)。 点P的全体，称为圆O1一般而言，平行线pl1与平行线pl2的行轴是二条与圆O2的根轴。记为直线H1与H2。下面分二种情况讨论。 G(O1, O2). 圆O1及圆O2的根轴是一条直线。 当圆O1及圆O2相交时，G(O1, O2)是一条包含其公共弦的直线； （一），平行线pl1与平行线pl2相交不平行。 此时它们形成一个公共平行四边形。其行轴是二条直线，即公共平行四边形的对角线H1及H2。 设平行线pl1与平行线pl2的方程为：