第5期2.1第2课时分数指数幂、无理数指数幂

第2课时 指数与指数幂的运算

一、课前准备 1．课时目标

理解分数指数幂与无理指数幂的意义，会用幂的运算法则进行有关运算.分数指数幂的运算是考查的重点，要领会运用分数指数幂与根式的相互转化解题.了解所有实数指数幂的意义. 2．基础预探、复习回顾 1、指数幂的概念：

①a叫做a的 ，a叫做幂的 ，n叫做幂的 ， n是正整数时，a叫做 ，

2、有理指数幂的运算法则： ①aa? ；②amnnn??mn? ；

amm③n? ； ④?ab?? ；⑤a3、根数的性质(na)n? （n?1,n?N?）；

a?a?n个?a?a? ..

? a???nn(n为奇数且n?1,n?N?)(n为偶数且n?1,n?N?)

⑷分数指数幂

⑴a? (a?0,n?N?)； ⑵amn1n? (a?0,m?N?,n?N?,且m为既约分数)； nm为既约分数)； n⑶a?mn? (a?0,m?N?,n?N?,且二、基本知识习题化 1、计算

??2?的结果是（ ） ??????2?12 A、2 B、?2 C、

22 D、? 22n1nnm2、在定义正分数指数幂时，约定底数a?0，是因为公式：a?a及a A、对a?0不成立 B、对a?0无意义

C、n是偶数时，对a?0无意义 D、n是奇数时，对a?0不成立 3、以下化简结果中错误的是（ ）

?a中（ ）

mn A、a?a25?13?a?115?1 B、((aa?ba))?12231466??9922??3323?a?4?b6

(?C、(?22x?y)(3x14?13?y)(?4x?y)?24y

D、

?15a?b?c25a?12131213?34?b?c543??ac

52n2n?14、下列个式①4(?4)；②4(?4)；③5a4；④4a5（各式的n?N,a?R）中，有意义的是（ ）

A、①② B、①③ C、①②③④D、①③④ 三、学习引领

1、正整数指数幂的运算性质：

（1）同底数幂相乘、底数不变，指数相加.

mnm?n、n都是正整数）即：a?a?a（m；

（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘.

n（am）?amn （m、n都是正整数）即：；

（3）积的乘方、等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

?ab?即：

n?anbn（n是正整数）；

（4）同底数幂相除、底数不变，指数相减.

mnm?n即：a?a?a （a?0,m,n是正整数，m?n）；

（5）分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方.

an?a????nb（n是正整数）. 即：?b?

2、指数幂的运算

对正整数指数幂，在上述的性质中，如果n?m，即是a?a?a0nmn?mn?a0，而显然an?an?1，所

以规定a?1，a是在幂的指数运算中产生的一种写法，并且这种规定是合情合理的. 有了这种规定，则a?an?n0?a0?1，所以a?n?1，这一规定也是自然的，如果没有这一规定，将an会导致幂的运算中指数产生混乱. 由于a与a0?n?n0而除数为0无意义，所以规定a与a的?n?N??都是由数学式子中除数an而产生的，

n同时，必须有a?0，即a?0.

3、指数幂的扩充

分数指数幂是根式的另一种写法，这种写法更便于指数运算，同0指数幂、负整数指数幂一样，负分数指数幂a?mn?1amn中，amn?0，即a?0.

指数的概念在引入零指数、负整数指数、分数指数后，指数的概念就实现了由整数到有理数的扩充，扩充后同底数的有理次幂的乘法、除法、开方都可以化为指数的运算，为化简根式带来了很大的方便. 四、典例导析

题型一、指数幂的运算.

1?516?3例1、求值8；25；()；()4.

281?2312分析：利用分数指数幂的性质运算化简. 解：① 8?(2)?2 ② 25?12232333?23?22?4；

12?(5)2??512?(?)21?5?1?；

5 ③ ()12?5?(2?1)?5?2?1?(?5)?32；

)22716?324?(?344?()?3?④()?(). 38813点评：掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.

变式练习：

1(2n?1)4?()2n?121、1. 计算：的结果； n?248a1012. 若a3?3,a10?384,求a3?[()7]n?3的值.

a3题型二、分数指数幂的求值：

例2、计算下列各式的值

3770.510?237?2?33?00???⑴(2)?0.1?(2)3?；

4892748⑵(0.0081)?14170?13?1?0.25?[3?()]?[81?(3)3]?10?0.0273

88思路导析：对于分数指数幂的运算中，通常采用负化正，大化小，根式化为分数指数幂，小数化分

数，是简化运算的常用技巧.

2?2511643759173?()?3???100??3??100； 解：⑴原式?()2?290.127483164811)3??()34?133?(?1?14?434?()]?10?0.33 ⑵原式?[()]?[3?1]?[3102 ?101??1?3?0 33总结：在进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行计算，便于进行乘、除、乘方、开方等运算，以达到化繁为简的目的.

变式练习

2、求解下列各式的数值：

41?7033?0.752(0.064)?(?)?[(?2)]?16?(0.010.01)2

8?131题型三、分数指数幂的化简：

例3、 化简下列各式：

37a2a?3?3a?83a15?3a?3a?1；

分析：通常先把根式化成分数指数幂的形式，利用分数指数的性质进行合理运算，提高运算的速度. 解析：原式= =a?2 =a37?a6373?a2a23?a?8153a3?a3?31?2a2 ；

327a3?a?23?22=a371?(a3)2?231?23?(a)?a?27?a36?a12?? =a23?1a6总结（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.

（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如

1(?2)6?[(?2)6]21?(26)2?8.

（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.

变式练习

4a324b31?8a3b32?a33、?(1?23?2abb3)?a. a