三峡大学期末计算机专业离散数学考试期末离散复习

《离散数学》期末复习提要

课程的主要内容

1、 集合论部分（集合的基本概念和运算、二元关系和函数）； 2、 数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；

3、 图论部分（图的基本概念、特殊的图，树及其性质）。

一、

第一章 命题逻辑

[复习知识点]

１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题

２、命题公式与解释，真值表，公式分类（永真、矛盾、可满足），公式的等价 ３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式 ４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法） ５、全功能集 ６、推理理论

本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、推理理论 [复习要求]

１、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。

２、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在解释下的真值。

３、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。

４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。掌握24个重要等值式。

1

各章复习要求与重点

５、掌握推理理论，会写出推理的证明，掌握附加前提证明法和归谬发。 [本章重点习题]

习题P31-36: 1.1,1.7-1.9,1.12,1.18,1.19，1.15 [疑难解析]

1、公式恒真性的判定

判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1（或全为0），就可以判定该公式是否恒真（或恒假），若不全为0，则为可满足的。二是推导法，即利用基本等价式推导出结果为1，或者利用恒真（恒假）判定定理：公式G是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。

这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项，一定要与求主析取范式相区别，对于合取范式也同样。

2、范式

求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律，结果的前一步适当使用等幂律，使相同的短语（或子句）只保留一个。

3、推理理论

掌握构造证明法，一是要理解并掌握8个推理定理，二是会使用常用的推理规则，附加前提证明法和归谬法，需要进行一定的练习。 [例题分析] 例1 求G???P?Q???R??P的主析取范式与主合取范式。

解 （1）求主析取范式， 方法1：利用真值表求解

2

PQR P?Q 0 0 0 0 0 0 1 1 ?P?Q???R 1 0 1 0 1 0 1 1 G 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 因此 G???P??Q?R????P?Q?R???P??Q??R???P??Q?R???P?Q??R?

??P?Q?R?方法2：推导法

G???P?Q?R??R??P????P?Q???R??P????P??Q??R??P???P?R????Q?R??P????P?R????Q?Q??????Q?R???P??P????P??Q??Q???R??R??

???P?Q?R????P??Q?R???P??Q?R????P??Q?R???P?Q?R???P?Q??R???P??Q?R???P??Q??R????P?Q?R????P??Q?R???P??Q?R???P?Q?R???P?Q??R???P??Q??R?（2）求主合取范式 方法1：利用上面的真值表

??P?Q???R??P为0的有两行，它们对应的极大项分别为P?Q?R,因此，

P??Q?R

??P?Q???R??P??P?Q?R???P??Q?R?

方法2：利用已求出的主析取范式求主合取范式

已用去6个极小项，尚有2个极小项，即

3

?P??Q??R与?P?Q??R 于是

?G???P??Q??R????P?Q??R?G????G??????P??Q??R????P?Q??R?? ??P?Q?R???P??Q?R?例2 试证明公式G???P?Q???Q?R????P?R?为恒真公式。

证法一 ：G=?（（?P?Q）?（?Q?R））?（?P?R） =（P??Q）?（Q??R）??P?R

=（（（P?Q）?（P??R）?（?Q?Q）?（?Q??R））??P）?R =（（P?Q??P）?（P??R??P）?（?Q??R??P））?R =（1?（?Q??R??P））?R =?Q??R??P?R =1

故G为恒真公式。 例3 构造下面的推理证明 前提：p?(q∨r) , s??r , p∧s 结论：q

证明：①p∧s 前提引入 ②p ①化简 ③p?(q∨r) 前提引入 ④q∨r ②③假言推理 ⑤s ①化简 ⑥s??r 前提引入

4