高中数学人教版选修2-1 2.1.1曲线与方程 教案（系列二）

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2．1．1曲线与方程

【学情分析】：学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程，熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式，能解决直线与圆的有关问题，对解析几何的研究方法与思路有一定的了解，这些对本节学习有很大帮助。 【教学目标】： 知识与技能

1、 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，

2、 领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理； 过程与方法

1. 在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数

与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法； 2. 体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法. 情感态度与价值观

培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神

【教学重点】：理解曲线与方程的有关概念与相互联系 【教学难点】：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性） 【课前准备】：多媒体、实物投影仪 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 1、问题： (1)求如图所示的直线的方程,并说明曲线上的点与方程之间的关系； 观察、思考，求得方程为y?x 一．复习、引入 设计意图 通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。 珍贵文档

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引导学生分析：（1）如果点M(x0,y0)是这条直线上的任意一点，则它到两坐标轴的距离相等，即x0?y0，那么它的坐标(x0,y0)是方程y?x的解。 （2）如果(x0,y0)是方程y?x的解，即x0?y0，则以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。 (2) 仿照（1）说明：以(a,b)为圆心，以r为半径的圆与方程(x?a)2?(y?b)2?r2的关系 引导学生在前一个例子的基础上类比归纳，得出结论，使他们理解几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化二．复习、引入 ⑴ 设M(xo,yo)是圆上任一点，则它到圆心的距离等于 半径 ，即(x0?a)?(y0?b)?r，即：(x?a)?(y?b)?r，22奠定了扎实的基础．这正体现了解析几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响． 222这就是说，(xo,yo)是此方程的 解 ； ⑵ 如果(xo,yo)是方程(x?a)?(y?b)?r的解，则可以推得 222(x0?a)2?(y0?b)2?r，即点M(xo,yo)到圆心的距离等于半径 ，点M在 圆 上。 1．在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程上述概念是本课的重点和难点，让学生自己通过讨论归纳出来，老师再说清楚这两大性质(纯粹性和完备性)的含义，使学生初步理解这个概念 通过引导学生运用集合的表述，使学生对曲线和方程的关系的理解得到f(x,y)?0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） 三．讲解定义 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性） 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 2.讨论：曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个关于x,y的二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作F 请大家思考：如何用集合C和点集F间的关系来表达“曲珍贵文档

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线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以加深和强化，在记忆中上上定义 关系(1)指集合C是点集F的子集，关系(2)指点集F是点集合C的子集． 这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”， 即：也趋于简化 通过反倒加深对定义的理解。 (1)C?F???C?F (2)F?C?3．练习：下列方程表示如图所示的直线C，对吗？为什么？ （1）x?22y?0; y1（2）x?y?0; （3）|x|-y=0. 上题供学生思考，口答． 解：方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲线C的方程． -101x第（1）题中曲线C上的点不全都是方程x?y?0的解，如点(-1,-1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论； 第(2)题中，尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”，但以方程x?y?0的解为坐标的点不全在曲线C上，如点(2，-2)22等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论； 第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况： y1y1-101x-101x(1)x-y=0(2)x2-y2=0珍贵文档

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y1-101x 通过例题巩固定义。 (3)|x|-y=01．例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k?0)的点的轨迹方程是xy??k 证明：（1）如图，设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点，因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以： |x0|?|y0|?k，即(x0,y0)是方程xy??k的根；四．例题 （2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程xy??k的根， 则：x1y1??k，即 |x1|?|y1|?k，而|y1|、|x1|是点M1到横轴、纵轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点。 由（1）（2）可知，xy??k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k?0)的点的轨迹方程 五．练习 六．小结 五、作1、 曲线与方程的关系 2、 如何证明、判断曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程 3、 曲线上的点所组成的集合与方程的解所组成的集合有什么关系？ 教科书习题2.1 A组1、2 1．教科书P37 练习1、2 珍贵文档