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例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为(10, 0)和(1824,?)，以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直55x轴于B点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线解析式及顶点坐标；
（3）点M是⊙A上一动点（不同于O、B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想mn的值，并证明你的结论；
（4）若点P从O出发，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使
△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．
图
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M在圆上运动，可以体验到，△EAF保持直角三角形的形状，AM是斜边上的高．拖动点Q在BC上运动，可以体验到，△BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形．
思路点拨
1．从直线BC的解析式可以得到∠OBC的三角比，为讨论等腰三角形BPQ作铺垫． 2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．
3．第（3）题连结AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜边上的高．
4．第（4）题的△PBQ中，∠B是确定的，夹∠B的两条边可以用含t的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．
图文解析
（1）直线BC的解析式为y?315x?． 42（2）因为抛物线与x轴交于O、B(10, 0)两点，设y＝ax(x－10)．
18242418325． ,?)，得??a??(?)．解得a?5555524552255125所以y?． x(x?10)?x?x?(x?5)2?2424122424125抛物线的顶点为(5,?)．
24代入点C(
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（3）如图2，因为EF切⊙A于M，所以AM⊥EF． 由AE＝AE，AO＝AM，可得Rt△AOE≌Rt△AME． 所以∠1＝∠2． 同理∠3＝∠4．
于是可得∠EAF＝90°．
所以∠5＝∠1．由tan∠5＝tan∠1，得
MAME． ?MFMA所以ME·MF＝MA2，即mn＝25．
图2
4，BP＝10－t，BQ＝t． 5分三种情况讨论等腰三角形BPQ：
①如图3，当BP＝BQ时，10－t＝t．解得t＝5．
11480②如图4，当PB＝PQ时，BQ?BPcos?B．解方程t?(10?t)，得t?．
2251311450③如图5，当QB＝QP时，BP?BQcos?B．解方程(10?t)?t，得t?．
22513（4）在△BPQ中，cos∠B＝
图3 图4 图5
考点伸展
在第（3）题条件下，以EF为直径的⊙G与x轴相切于点A．
如图6，这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线，也是直角梯形EOBF的中位线，因此圆心G到x轴的距离等于圆的半径，所以⊙G与x轴相切于点A．
图6
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例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题
在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．
（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；
（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小； （3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
动感体验
请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．
思路点拨
1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．
2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．
3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．
图文解析
（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知 A(m, 0)，B(n, 0)．
若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．
（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1． 若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．
OCOB． ?OAOC所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．
又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余． 所以∠ACB＝90°．
所以OC2＝OA·OB．所以
图1 图2 图3
（3）在△ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)． 讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：
由两点间的距离公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2． ①当AB＝AC时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得n??（如图2）．
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②当CA＝CB时，解方程4＋4n2＝5n2，得n＝－2（如图3），或n＝2（A、B重合，舍去）．
③当BA＝BC时，解方程(n－2)2＝5n2，得n??5）．
5?15?1（如图4），或n?（如图22
图4 图5
考点伸展
第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．
由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1．
由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,－1)，得AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2， BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．
所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．
第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CA＝CB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(－2, 0)，n＝－2．
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