2017年挑战中考数学压轴题(全套_含答案)-7642

图3 图4 图5

（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E．过点A作x轴的垂线交DE于F． 由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得D(－1,－4m)． 在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m． 如果△ADC与△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m．

OAOC33m．所以?．解得m＝1． ?ECEDm1CAOCOCCAOC此时．所以△CDA∽△OBC． ??3，?3．所以?CDEDOBCDOB①如图4，当∠ACD＝90°时，②如图5，当∠ADC＝90°时，此时

2FAFD4m2．所以． ??．解得m?2EDEC1mOC32DAFD2．因此△DCA与△OBC不相似． ?3m????22，而OB2DCECm综上所述，当m＝1时，△CDA∽△OBC．

考点伸展

第（2）题还可以这样割补：

如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H． 由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)． 又因为P(x, 2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．

因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以

S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH

3＝(－2x2－6x) 2327＝?3(x?)2?． 图6

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例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题

如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y

（1）求AD的长；

（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，

若S＝S1＋S2，求S的最小值.

动感体验 图1

请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．

思路点拨

1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．

2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式．

图文解析

（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．

在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝23．所以AD＝23． （2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．

①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．

所以

438APPC＝＝，而＝3．此时△APD与△PCB不相似．

3AD23PB

图2 图3 图4

②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2． 所以

32AP＝＝．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP．

3AD23综上所述，当x＝2时，△APD∽△CBP．

（3）如图5，设△ADP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点．

设△PCB的外接圆的圆心为O，那么点O在BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB交于点F．

设AP＝2m．作OM⊥BP于M，那么BM＝PM＝5－m． 在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．

在Rt△OFM中，FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，

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所以OM＝3(m?1)． 31所以OB2＝BM2＋OM2＝(5?m)2?(m?1)2．

3在Rt△ADP中，DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2．所以GP2＝3＋m2．

于是S＝S1＋S2＝π(GP2＋OB2)

1???(7m2?32m?85)．

3??316113?所以当m?时，S取得最小值，最小值为．

77＝?3?m2?(5?m)2?(m?1)2＝??

图5 图6

考点伸展

关于第（3）题，我们再讨论个问题．

问题1，为什么设AP＝2m呢？这是因为线段AB＝AP＋PM＋BM＝AP＋2BM＝10． 这样BM＝5－m，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S的最小值． 问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？ 如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．

1此时OB2＝BM2＋OM2＝(5?m)2?(1?m)2．这并不影响S关于m的解析式．

3

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例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题

如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；

（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若

不存在，请说明理由． 图1

动感体验

请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，△APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ与△BOP有一次机会相似．

思路点拨

1．在△APQ中，∠A＝45°，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．

2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．

3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．

图文解析

（1）由y＝－x＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)． 将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得?所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．

（2）在△APQ中，∠PAQ＝45°，AP＝3－t，AQ＝2t． 分两种情况讨论直角三角形APQ：

①当∠PQA＝90°时，AP＝2AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）． ②当∠QPA＝90°时，AQ＝2AP．解方程2t＝2(3－t)，得t＝1.5（如图3）．

??9?3b?c?0,?b?2, 解得?

?c?3.?c?3.

图2 图3

（3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．

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