人教A版数学选修4第一讲相似三角形的判定及有关性质讲末综合检测

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

解析：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC.

又∵AH⊥BC，DE∥BC， ∴AG⊥DE， ∴＝. 设DE＝x，则GH＝32－x2x∴＝. 42

33

x，AG＝AH－GH＝2－x. 22

DEAGBCAH解得：x＝23－2(cm)． 答案：23－2 三、解答题

15．如图，△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM，CM的延长线分别交AC，AB于F，E.

求证：EF∥BC.

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

证明：过点A作BC的平行线，与BF，CE的延长线分别交于G，H. ∵AH∥DC， AG∥BD，

AHAMAGAM＝. DCMDBDMDAHAG∴＝. DCBD∵BD＝DC，∴AH＝AG. ∵HG∥BC，

AEAHAFAG∴＝，＝. EBBCFCBCAEAF∵AH＝AG，∴＝，∴EF∥BC.

EBFC∴＝， 10

16．如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝，连接DE交BC于

3

点F，AC＝4，BC＝3.求证：

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

(1)△ABC∽△EDC； (2)DF＝EF.

证明：(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5. ∵D为斜边AB的中点，

1

∴AD＝BD＝CD＝AB＝2.5.

2

CD2.53BC∴＝＝＝. CE104AC3

∴△ABC∽△EDC.

(2)由(1)知，∠B＝∠CDF， ∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF， ∴∠CDF＝∠DCF. ∴DF＝CF.①

由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°， ∠ECF＋∠DCF＝90°，

∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD. ∴∠ECF＝∠CEF， ∴CF＝EF.②

由①②，知DF＝EF.

17．如图，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F.直线FD交BE于点G，交AC2

的延长线于H，求证：DF＝GF·HF.

证明：在△AFH与△GFB中， ∵∠H＋∠BAC＝90°， ∠GBF＋∠BAC＝90°， ∴∠H＝∠GBF.

∵∠AFH＝∠BFG＝90°， ∴△AFH∽△GFB.

HFAFBFGF∴AF·BF＝GF·HF.

2

∵在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF＝AF·BF.

2

∴DF＝GF·HF.

∴＝. 信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点(不与B，C重合)，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G.

AFCGADCD(2)FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； (3)当AB＝AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由． 解：(1)证明：在四边形AFEG中， ∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°， ∴四边形AFEG为矩形，∴AF＝EG. 根据题意易证△ADC∽△EGC， EGCGAFCG∴＝，∴＝. ADCDADCD(2)FD⊥DG.证明过程如下：

∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，∴∠FAD＝∠C.

AFCG又由(1)可知，＝，

ADCD∴△AFD∽△CGD，∴∠ADF＝∠CDG. 又∠CDG＋∠ADG＝90°，

∴∠ADF＋∠ADG＝90°，即∠FDG＝90°，∴FD⊥DG. (3)当AB＝AC时，△FDG是等腰直角三角形．

(1)求证：＝；

理由如下：

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AD＝DC. 又∵△AFD∽△CGD，

FDADGDDC又∠FDG＝90°，∴△FDG为等腰直角三角形．

∴＝＝1，FD＝DG.

信达