2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：第六章 第2讲 等差数列及其前n项和 Word版含答案

第2讲 等差数列及其前n项和

一、知识梳理

1．等差数列与等差中项 (1)定义：

①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； ②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋3．等差数列的性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an． (3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d． (4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 常用结论

1．等差数列与函数的关系

(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．

n（n－1）n（a1＋an）d＝． 22n（n－1）dd

a1－?n是关于n的二次(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋?2??22函数且常数项为0.

2．两个常用结论

(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 S奇an

①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；

S偶an＋1

S奇n

②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.

S偶n－1

an＝. T2n－1bnS2n－1

(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为二、习题改编

1．(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第10项为 ．

答案：37

2．(必修5P46A组T2改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}的公差d＝ ．

答案：3

3．(必修5P39练习T2改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为 ．

解析：设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1

＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总20（a1＋a20）20×（22＋60）

共的座位数为＝＝820.

22

答案：820

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数

列．( )

(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( )

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( ) (5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )

(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)× 二、易错纠偏

常见误区(1)等差数列概念中的两个易误点，即同一个常数与常数； (2)错用公式致误； (3)错用性质致误．

1

1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于 ．

211

解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，

229×（9－1）1

故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.

22

答案：27

2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为 ．

???a1＋3d＋a1＋4d＝24，?a1＝－2，

解析：由已知得?解得?所以数列{an}的公差为4. 5

???d＝4，?6a1＋6×2d＝48，

答案：4

3．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝ ．

解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.

答案：180

等差数列的基本运算(师生共研)

?1?

(1)(2020·福州市质量检测)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列?a?为等差数列，

?n?

则a9＝( )

1

A. 24C. 5

5B. 44D．－ 5

(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则( ) A．an＝2n－5 C．Sn＝2n2－8n

B．an＝3n－10 1

D．Sn＝n2－2n

2

?n?

?1?

【解析】 (1)因为数列?a?为等差数列，a3＝2，a7＝1，

111－1－a7a321?1?11154

所以数列?a?的公差d＝＝＝，所以＝＋(9－7)×＝，所以a9＝，故

a9a7845?n?7－37－38选C.

(2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

4×3????4a1＋2d＝0，?S4＝0，?a1＝－3，

因为?所以?解得?所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－

?a5＝5，?d＝2，????a1＋4d＝5，n（n－1）

1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.

2

法二：设等差数列{an}的公差为d，

4×3???S＝0，4a＋d＝0，4?1??a1＝－3，2

因为?所以?解得?

????a5＝5，?d＝2.?a1＋4d＝5，选项A，a1＝2×1－5＝－3；

选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B； 选项C，S1＝2－8＝－6，排除C； 13

选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A.

22【答案】 (1)C (2)A