提升高中数学概念教学有效性的策略研究(3)

学生从多角度，多层次上去进行应用，在应用中达到切实掌握数学概念的目的。

四、概念教学有效性的策略研究

在概念的教学中如何引导学生自主建构，提高概念外化与内质抽象的思维质辨力度呢？为此，我们尝试在概念形成的不同阶段，选择运用不同的教学策略，付之实践检验。 策略1：创设情境，感知概念

概念的感知是形成概念的前提，学生对数学概念的感性认识是通过教师的直观教学方法获得的。概念的引入是概念教学的关键，概念是抽象的、概括的，由具体到抽象是人类认识的规律，每一个概念的产生都有丰富的知识背景，形成准确概念的首要条件是使学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料，在概念教学中，可以根据概念和学生的认知特点，创设数学概念形成的问题情景，体会到数学概念引进的必要性和必然性，让学生有自己发现的感觉，帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡。

【案例1】“直线与平面垂直”的概念教学片断

问题情境：首先请学生们观察生活中的具体实例形成感性认识。给出以下实例： （1）将书打开直立于桌面，观察书脊和各页面与桌面的交线，显然都是垂直的； （2）在开门的过程中，观察门轴和门与地面的交线始终垂直的；

（3）日光下，观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，尽管随着时间的变化，影子的位置会移动，但旗杆始终与影子垂直。

点评：从以上三个生活实例感悟直线与平面垂直的形象，从而形成直线与平面垂直的感性认识。然后通过动手实验、自主探索上升为理性认识。

【案例2】“n次独立重复实验”的概念教学片断

问题情境设计：

用动画创设情境，丙丙和丁丁在公园里种了8棵树，假设每棵树的成活率都为0.75，请思考以下两个问题：(1)他们种的第一棵树的成活和第二棵树的成活相互之间有没有与影响？8棵树各自的成活与否相互之间有没有影响？（2）所种的每一棵树，可能出现哪些不同的结果？

进一步创设情境，对比分析，感知概念。

在下列试验中，与丙丙和丁丁种树试验具有共同特征的有（ ） ①某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次。 ②姚明罚球的命中率是0.9，他连罚3次。 ③一枚硬币连续扔5次。（5枚硬币一起扔出）

④袋中5个白球，3个红球，有放回取球，每次取一个，连续3次。 ⑤袋中5个白球，3个红球，无放回取球，每次取一个，连续3次。

点评：通过以上情境设置，学生思考，教师引导感知，形成概念。师生共同归纳得出现象的共同点：在同样条件下重复的进行的一种试验；各次试验之间相互独立，相互之间没有影响；每一次试验只有两种结果，即某事发生或不发生，并且任意一次试验中发生的概率都是一样的，揭示概念。

【感悟】教学时不要生硬地抛出概念，让学生死记硬背，应从实际出发，创设情景，提出问题，通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识。比如；我们在讲圆柱、圆锥、球的概念时，由于圆柱、圆锥、球属于三维图形，用平面直观图难免会造成视觉上的失真，我们可以借助教具、利用几何画板动画展示帮

助学生理解；在讲数学归纳法的概念时，为了帮助学生更好的理解“递推”的含义，可以引进“多米诺”骨牌游戏。让学生在活动中思考、感悟和体验数学知识的萌芽以及发生、发展的全过程，以领悟数学思想方法的真谛，丰富学生的认知结构，应力求顺乎自然、水到渠成。

策略2：自主探索，生成概念

概念的生成过程教学就是让学生参与和经历概念生成的整个思维过程。因此，在教学中，恰当的进行教学设计，充分展示数学知识的形成过程，让学生弄清概念的来龙去脉，认识它的必要性和合理性，让学生在体验中自主探究，生成概念，概念在其生成的过程中逐渐明朗化，可以更好的帮助学生深化对概念的理解，培养学生运用概念的意识和能力。 【案例3】“抛物线及其标准方程”概念教学片段

第一步：在学生已有认知基础上设计问题，使学生体验新概念的一个具体背景。

师：前面我们已经学习了椭圆和双曲线的有关知识，请同学们试解决下面问题：

22问题1：若点P(x,y)坐标满足x?(y?2)?x2?(y?2)2?6，则P点的轨迹是 。

（学生思考并动笔，教师巡视，个别指导。） 生1：我利用平方化简，但还没有做出来。

师：该同学平方化简，肯定可以得到答案，只是还需要一些时间，相信他一定能成功。 生2：上面式子表示两点距离之和，根据椭圆定义可知，P点轨迹是椭圆。

（学生纷纷表示生2的解法是正确的）

22问题2：若点P(x,y)坐标满足x?(y?2)?x2?(y?2)2?6，则P点的轨迹是 。 （学生认为是双曲线） 师：是双曲线吗？

生3：应该是双曲线的上半支。（由于第1题的解决对第2题有着提示和启发作用，所以第2题几乎所有学生都不再化简了，自然地联想到利用定义的解法中来，于是教师顺势抛出第3题。）

问题3：若点P(x,y)坐标满足x?(y?2)?y?2?0，则P点的轨迹是 。 生4：从条件的含义看，似乎不是椭圆，也不像双曲线。

师：到底轨迹是什么，生1解问题1的方法会给我们很好的启示。

22x2（学生再次化简，片刻后，一直得到的轨迹是抛物线，因为它的方程是y?，初中已经学过。）第二步：剖析问

8题3条件的几何意义，并推出是否具有一般性的结论。

师：若把条件中的“2”改成其他数字（非零），结果如何？ 生5：轨迹仍然是抛物线，只是方程中的数字不同而已。 师：那么条件所表示的几何意义又是什么呢？

生6：原方程即x?(y?2)?y?2，左边表示点P(x,y)到点(0,2)的距离，右边表示点P(x,y)到直线y??2的距离，等式表示两个距离相等。

第三步：类比推广，从具体实例中抽象出抛物线的概念。

师：从问题3的分析中我们可以看出，满足这些条件的轨迹都是抛物线。于是我们抛弃这些具体的位置和数据外壳，

22

得出抛物线的定义。请哪位同学根据上面的等式，说出抛物线的定义。 生7：到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。

师：不太准确，应该是在“平面内”，接下来我们再用动画来演示一下这个定义下的轨迹 ……

点评：本案例从学生已有知识出发，由易到难设计了3个问题，让学生在问题解决的过程中自主探究，对比发现，逆向生成抛物线的定义，再结合多媒体动画演示，同学们经历了一次“发现”，“创造”的过程，给学生留下较深刻的印象，对此概念的理解也将更准确更深刻。 【案例4】“函数零点存在条件”的教学片段

在对于函数零点概念的理解后，如何判断函数零点的存在条件是本节课的重点，以下是我的课堂实录：

师：问题2：函数f(x)在区间?a,b?上有f(a)f(b)?0，那么函数f(x)在区间?a,b?上是否一定存在零点，请举例说明。我特别强调“请举例说明”。 众生：议论纷纷，很快就有人说“不一定”。

师：请举个例子。 生1：f(x)?1，在区间??1,1?上有f(?1)f(1)?0，但是f(x)?0在??1,1?上没有实数根。 x师：大家都觉得这个例子很精彩。确实，举反例常常不是件容易的事。（即时评价）

师：问题3：函数f(x)在区间?a,b?上有f(a)f(b)?0，且有零点，那么一定只有一个吗？请举例说明。 有学生在黑板上画出了图1，还有学生画出图2。 师：（故意地）数了数“3个，5个，…”

图1 图2 图3 图4

生2：不一定是奇数个。（有学生听出我的话外音） 师：老师是说一定有奇数个吗？” 生2：到黑板上画出图3。

生4：老师我还有另外的图形（图4）。

师：我真没有想到你会想出这个点子来，还有吗？

众生:学生们认真思考，积极参与，又画出间断不连续的图象来。

师：问题4：函数f(x)在区间?a,b?上有f(a)f(b)?0，还需要满足什么条件？就一定有且只一个实数根。” 师生热烈讨论，最后得到要满足3个条件：（1）函数f(x)（的图象）在区间?a,b?上“连续不断”；（2）f(a)f(b)?0；（3）函数f(x)在区间?a,b?上单调。

这就已经获得了函数零点存在条件：函数y?f(x)在区间?a,b?上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)f(b)?0，那么函数y?f(x)在区间?a,b?上有零点。即存在c??a,b?，使得f(c)?0，这个c就是方程f(c)?0

的根。

点评：本节课的重点就是让学生通过函数图象，直观感受零点存在的条件。如何让学生寻找这个条件呢？当然不要直接把结论抛给学生，这就需要设计一个过程，设计“问题链”，“问题”会引起学生的思考，让学生对这些问题进行讨论，参与到寻找条件的过程中来。

【感悟】在教学中需要教师通过问题努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，问题可以把学生带入“愤”与“悱”的境地，帮助学生自主探究，理解数学概念的生成过程，数学法则的发展过程。事实上，在自主探究的过程中，蕴含着数学最基本的思想和方法，如归纳、类比、抽象等。

策略3：步步为营，理解概念

学生对数学概念的理性认识是否初步形成，首先反映在对该概念的定义是否理解。 学生认识事物的过程，总是从具体到抽象，从个别到一般，这也是人类认识事物的规律，因此，我们要遵照这一规律，通过问题串的设计，引导学生辨析，解剖概念，从而理解概念的内涵和外延。 【案例5】函数概念的理解

函数在高中数学中占有非常重要的地位，因此深刻理解函数概念显得尤为重要，在通过实例分析，讨论，归纳出函数定义后，我又设计了以下两个问题，学生思考。 问题1： (1) y?1(x?R)是函数吗？

(2)y??x(x?0)是函数吗？ (3)y?x-3?1?x是函数吗？

问题2：在三个实例中，按照一定的对应关系，能看作从B到A 的函数吗？你能举出函数的实例吗？

点评：通过几个实例，引导学生利用定义判断给定的两个变量间是否具有函数关系？总结函数概念中的关键词，使学生更深刻理解函数的概念。 【案例6】函数周期的理解

函数的周期性和最小正周期是学生难以理解的概念，在学生了解其概念后，为了帮助学生准确把握函数的函数周期性和最小正周期的外延，我设计了以下问题链，让学生讨论：

（1）函数y?a（a为常数）是周期函数吗？y?a（a??2）呢？y?a（a?（2）函数y?sinx,x???2?,???是周期函数吗？最小正周期是多少？

函数y?sinx,(x?R且x?k?)呢？

（3）函数y?sinx，对x?R都有f(x1)?f(x2)，则x1?x2的最小值是多少？ （4）作出函数y?sinx,x???2?,3??与y?sinx(x?R)的图像。

点评：通过上述问题的研究，可以帮助学生弄清以下问题：（1）周期函数定义域的结构特征；（2）最小正周期的存在状况；（3）周期函数函数值的分布规律；（4）周期函数的图像特征．在此基础上，学生才能真正弄清周期函数、最小正周期的概念，

【感悟】在概念形成后，如何让学生深入理解概念，在教学中，可以结合具体的事例诠释概念的内涵与外延。这里既可以

1）呢？ 2