运动模糊图像复原课程设计

(2)运算H{}是位移不变的，如果输入、输出的关系满足式（2-3），则对于任意的f (x ,y)和α、β有

g (x-α,y-β)=H {f (x -α,y-β)} （2-3） 式（2-3）图像上任何一点的运算结果，只和该点的灰度值大小有关，而与它所处的坐标位置无关。已知一幅连续的图像f (x ,y)可用二维δ(x ,y)抽样函数的二维卷积表示：

?? f(x,y)???（2-4） ??f(?,?)?(x??,y??)d?d?

将H{}操作施加于f (x ,y)

g(x,y)?H?f(x,y)?????? ??f(?,?)H(?(x??,y??))d?d? （2-5）

令h (x ,α;y,β)=H [δ(x -α,y-β)]，则：

?? g(x,y)??? ??f(?,?)h(x,?;y,?)d?d? （2-6）

式中h (x ,α;y,β)叫做点扩展函数（PSF）或系统冲击响应。它表示离散图像的每一个像点受到H{}操作的影响而扩散。f (x ,y)又可看作离散点连续抽样的结果，图像退化就是受h (x ,α;y,β)的影响所致。多数情况下系统是不变的，在图像中反映为位移不变，则h (x ,α;y,β)可以用h (x -α,y-β)表示：

??g(x,y)?????f(?,?)h(x,?;y,?)d?d?

?? =

????f(?,?)h(x??,y??)d?d? =f(x,y)*h(x,y) （2-7）

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在加性噪声存在的情况下，图像退化模型又可表示为

（2-8） g(x,y)?f(x,y)*h(x,y)?n(x,y) 式中n (x ,y)为噪声。这是一个线性位移不变的系统模型。位移不变在图像邻域中常称为空间不变。许多退化中都可用线性的位移不变模型来近似。

2.2匀速直线运动模糊的退化模型

设物体f (x)以速率v沿水平方向移动，检测的相机保持静止。在

相机的快门开启期间0 ≤t ≤T，记录媒质（如负片）上的总曝光量由瞬时曝光累积而成。为了分离出运动的效应，可假设相机快门的闭、启均在瞬间完成，光学成像过程完美无缺，此时将有：

~(x)?f(x?vt)dt g（2-9） ?0T 有的文献采用一维传播波方程[18]描述上述运动模糊过程

??????v?w(x,t)?0?? ???t?x? （2-10）

?w(x,0)?f(x)?其中，w( x ,t)是运动物体在时刻t的瞬时曝光，t=0时刻的瞬时曝光为f (x)。上式的解，即所谓的达郎贝尔解取下述形式

w(x,t)?f(x?vt) （2-11） （2-11）可见，w( x ,t)在x -t面上沿着每一特征线x –v*t=const波形不变。如果w( x ,t)是随着时间改变的一维图像，那么图像w( x ,t)作为刚体沿水平方向平移。因此，当t>0时，在负片上的累积曝光效应（模

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糊图像）应该为

tt g(x,t)??w(x,?)d???f(x?v?)d? （2-12）

00从而它在时间区间两端的约束条件分别为g (x,0)=0，

~(x) g(x,T)??f(x?vt)dt?g（2-13）

0T对于静止物体（v=0）

~(x)?g(x,T)?T?f(x) g(x,t)??f(x)d??t?f(x),g（2-14）

0t因为累积曝光的结果是初始曝光的时间数倍，所以图像不会模糊。 对于运动物体（v≠0），令ζ=x - v?，则方程变为

11（2-15） g(x,t)??f(?)d??t??f(?)d??t?f(x),x?[x?vt,x]

vx?vtvtx?vtxx进而得到

1 g(x,T)?T?vTx?vt ?f(?)d??T?f(x),x??x?vT,x? （2-16）

x 上式表明，v≠0时，式（2-8）所成的图像必定为模糊图像， 它与f (x)在某一个邻域上的平均量f (x)的静止曝光结果等价。图像 是由景物在不同时刻的无限多个影像叠加而成的。它相当于对原始图像在邻域[x –v*t ,x]上作了一次平均再乘上曝光时间，对原始图像起了平滑作用。运动的速度越快或者曝光的时间越长，v*t的值越大，邻域平均的范围越大，图像也就越模糊。因此，运动模糊的程度由移动物体的速度和摄像机快门打开的时间两方面决定。

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2.3离散函数的退化模型

由于数字图像都是离散形式的，所以在实际应用中都是下式进行计算的，其表达式如下：

g(x,y)???f(m,n)h(x?m,y?n)?n(x,y)m?0n?0M?1N?1 （2-17）

式中x=0，1，2，?，M-1；y=0，1，2，?，N-1。函数f(x，y)和h(x，y)分别是周期为M和N的函数。注意，如果这两个函数的周期不是M和N，那么必须对它们进行补零延拓，避免卷积周期的交叠。g(x，y)是与f(x，y)和h(x，y)具有相同周期的函数。

以下将由M宰N函数矩阵f(x，y)、g(x，y)和办(x，y)各行堆叠形成的M*N维列向量分别记为f、g和n，形式如下：

?f(0,0)??f(0,1)????????f(0,N?1)???f??????f(M?1,0)??f(M?1,1)???????f(M?1,N?1)????g(0,0)??g(0,1)????????g(0,N?1)???g??????g(M?1,0)??g(M?1,1)???????g(M?1,N?1)????n(0,0)??n(0,1)????????n(0,N?1)???n??????n(M?1,0)??n(M?1,1)???????n(M?1,N?1)???

则式（2-17）可以写为：

g?Hf?n （2-18）

式中H为MN*MN维矩阵。H可写成M个子矩阵的形式，每一个子矩阵的大小为N*N，排列顺序如下：

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