高一数学一元二次不等式解法练习题及答案

例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2

≤0}，若B?A，求a的范围．

分析 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关

系，结合B?A，利用数形结合，建立关于a的不等式．

解 易得A＝{x|1≤x≤4} 设y＝x2－2ax＋a＋2(*)

(1)若B＝?，则显然B?A，由Δ＜0得

4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．

(2)若B≠?，则抛物线(*)的图像必须具有图1－16特征： 应有{x|x1≤x≤x2}?{x|1≤x≤4}从而

??12－2a·1＋a＋2≥0?218 4－2a·4＋a＋2≥0 解得12≤a≤?7??2a?1≤≤4?2?18综上所述得a的范围为－1＜a≤．

7说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．

5

例10 解关于x的不等式

(x－2)(ax－2)＞0．

分析 不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论． 解 1° 当a＝0时，原不等式化为 x－2＜0其解集为{x|x＜2}；

222° 当a＜0时，由于2＞，原不等式化为(x－2)(x－)＜0，其解aa

集为2{x|＜x＜2}； a223° 当0＜a＜1时，因2＜，原不等式化为(x－2)(x－)＞0，其解aa

集为2{x|x＜2或x＞}；

a4° 当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；

225° 当a＞1时，由于2＞，原不等式化为(x－2)(x－)＞0，其解aa

集是2{x|x＜或x＞2}．

a从而可以写出不等式的解集为： a＝0时，{x|x＜2｝；

2a＜0时，{x|＜x＜2｝；

a6

20＜a＜1时，{x|x＜2或x＞}；

aa＝1时，{x|x≠2}；

2a＞1时，{x|x＜或x＞2}．

a说明：讨论时分类要合理，不添不漏．

例11 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集．

分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：

解法一 由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：

?b－＝α＋β，??a ?c?＝α·β．??a?b＝－(α＋β)＜0，??a即?

c?＝α·β＞0．??a∵a＜0，∴b＞0，c＜0．

bab又×?， accb11∴＝－(＋)cαβca11由＝α·β，∴＝·acαβ7

①

②ba对cx2＋bx＋a＜0化为x2＋x＋＞0，

cc由①②得11ba11，是x2＋x＋＝0两个根且＞＞0， αβccαβba112∴x＋x＋＞0即cx＋bx＋a＜0的解集为{x|x＞或x＜}．

ccαβ2解法二 ∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程． 且ax2＋bx＋c＞0解为α＜x＜β，

∴cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＞11或x＜} ． αβ说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．

例12 解关于x的不等式：x＜1－a(a∈R)． x?1分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．

解 原不等式变为xax?1?a－(1－a)＜0，即＜0， x?1x?1进一步化为(ax＋1－a)(x－1)＜0． (1)当a＞0时，不等式化为

a?1a?1a?1(x－)(x－1)＜0，易见＜1，所以不等式解集为{x|＜xaaa

＜1}；(2)a＝0时，不等式化为x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集为{x|x＜1}；

(3)a＜0时，不等式化为(x－a?1a?1)·(x－1)＞0，易见＞1，所以aaa?1不等式解集为{x|x＜1或x＞}．a8