2018版高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案苏教版

答案精析

问题导学 知识点一

思考1 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．

思考2 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示． 梳理 (1)不共线 任一 有且只有一对 (2)不共线 所有 知识点二

思考 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底． 梳理 λ1e1＋λ2e2 分解 垂直 正交分解 题型探究 例1 ②③ 跟踪训练1 ②⑤

例2 解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点， →→→→→→∴AD＝BC＝2BE，BA＝CD＝2CF，

1→1→1→1→1→

∴BE＝AD＝b，CF＝BA＝－AB＝－a.

22222→→→→→→→∴DE＝DA＋AB＋BE＝－AD＋AB＋BE 11

＝－b＋a＋b＝a－b，

221→→→→→

BF＝BC＋CF＝AD＋CF＝b－a.

2引申探究

解 取CF的中点G，连结EG.

∵E、G分别为BC，CF的中点， →1→1∴EG＝BF＝b，

221→→→

∴DG＝DE＋EG＝a＋b.

2→3→3→又∵DG＝DC＝AB，

44

142→4→4

∴AB＝DG＝(a＋b)＝a＋b.

33233

→→→→→1→→1→又∵AD＝BC＝BF＋FC＝BF＋DC＝BF＋AB，

2214224→→

∴AD＝BC＝b＋(a＋b)＝a＋b.

23333→→→→→→

跟踪训练2 解 OP＝OM＋MP，OP＝ON＋NP. →→→→

设MP＝mMB，NP＝nNA，则 →→→1→→→OP＝OM＋mMB＝OA＋m(OB－OM)

3111

＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb， 333→→→1→→→OP＝ON＋nNA＝OB＋n(OA－ON)

2111

＝b＋n(a－b)＝(1－n)b＋na. 222∵a，b不共线， 1??3∴?1??2

－m＝n，

－n＝m，

1

n＝，??5即?2

m＝??5.

2→1

∴OP＝a＋b.

55

例3 解 如图所示，连结MN并延长交AB的延长线于点T，

44→→→→→5→5→

由已知易得AB＝AT，所以，AT＝AB＝λAM＋μAN，即AT＝λAM＋μAN.

5544554

因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝1，所以λ＋μ＝.

445

跟踪训练3 解 将a＝e1＋e2与b＝3e1－2e2代入c＝λa＋μb，得c＝λ(e1＋e2)＋μ(3e1－2e2)＝(λ＋3μ)e1＋(λ－2μ)e2.

因为c＝2e1＋3e2，且向量e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理

??λ＋3μ＝2，

中的唯一性可得方程组?

??λ－2μ＝3，

13

λ＝，??5解得?1

μ＝－.??5

当堂训练

24

1．①③ 2.a＋b

33

3．－15 －12 4.a＋b 2a＋c 5.→DC＝1

2b

→BC＝a－12

b →EF＝14

b－a