2018版高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案苏教版

2.3.1 平面向量基本定理

学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．

知识点一 平面向量基本定理

思考1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？

思考2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？

梳理 (1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的________向量a，________________实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：__________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 知识点二 向量的正交分解

思考 一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？

梳理 正交分解的含义

一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝_____的形式，我们称它为向量a的_____．当e1，

e2所在直线互相________时，这种分解也称为向量a的____________．

类型一 对基底概念的理解

例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)

①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；

③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；

④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.

反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 跟踪训练1 e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．

1

①e1＋e2，e1－e2；②3e1－2e2，4e2－6e1；③e1＋2e2，e2＋2e1；④e2，e1＋e2；⑤2e1－e2，e1

51

－e2. 10

类型二 用基底表示向量

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例2 如图所示，在?ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若AB＝a，AD＝b，试以a，

b为基底表示DE，BF.

→→

引申探究

→→→→

若本例中其他条件不变，设DE＝a，BF＝b，试以a，b为基底表示AB，AD.

反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．

→→→

跟踪训练2 如图所示，在△AOB中，OA＝a，OB＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且OM＝1→1→→→a，ON＝b，设AN与BM相交于点P，用基底a，b表示OP. 32

类型三 平面向量基本定理的应用

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例3 在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB＝λAM＋→

μAN，求λ＋μ的值．

反思与感悟 当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．

跟踪训练3 已知向量e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，且a＝e1＋e2，b＝3e1－2e2，

c＝2e1＋3e2，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，试求λ，μ的值．

1．下列关于基底的说法中，正确的是________． ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；

③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. →→→

2．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且AD＝a，BE＝b，则BC＝_____.

3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，

y＝________.

→→→→4．如图所示，在正方形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BD＝c，则当以a，b为基底时，AC可表→

示为________，当以a，c为基底时，AC可表示为________．

→→

5．已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设AD＝a，AB＝

b，试用a、b为基底表示DC，BC，EF.

1．对基底的理解 (1)基底的特征

基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．

(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．

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