人教版九年级数学上册22.2 二次函数与一元二次方程一等奖优秀教学设计

人教版义务教育课程标准教科书八年级下册

22.2《二次函数与一元二次方程》教学设计

一、教材分析

1、地位作用：本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系，然后介绍了用图象法求一元二次方程近似解的过程。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

2、目标及目标分析： 【目标】：

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系； 2、理解二次函数的图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系； 3、经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，获得图像法求方程近似根的体验和方法。

【目标分析】：

用解决实际问题的形式使学生经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，了解一元二次方程与二次函数之间的联系。进而通过观察二次函数图像与x轴交点，解相应的一元二次方程的根，让学生类比一次函数与一元一次方程的关系归纳出二次函数的图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，学会用数形结合的思想来看待问题。通过用二次函数图像来解一元二次方程的例题，使学生更透彻的理解二次函数的图像与x轴的交点与一元二次方程的根之间的关系，在解例题过程中学会估计一元二次方程的根。

3、教学重、难点

教学重点：二次函数的图像与x轴的交点与一元二次方程的根之间的关系。 教学难点：用图像法求方程的近似根。

突破难点的方法：自主探究、小组合作交流、师生探讨 二、学情分析

知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。

三、教学准备：多媒体课件、导学案

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四、教学过程

教学内容与教师活动 一、创设情景 引入课题 师：在八年级时我们学过一次函数与一元一次方程的关系，同学们是否还记得，请根据提示回顾：（出示相关问题） 学生活动 设计意图 从学生的就近发展回顾，区，联系本课所要学习的知识，以“解方程ax+b=0（a，b为常数，a≠0）”从数的角度看填空。 相当于“求 为何值时，一次函数 的值为 ”从形的角度看相当于求直线 与 X轴的交点的 坐标。 师：本节课我们也从“数”和“形”两方面来看看二次函数与一元二次方程之间的关系。由此引出课题，出示目标。 明确复习回顾的方式引入课题，从学习方法和思维的启发诱导上为本课学习作下铺目标 二、自主探究 合作交流 建构新知 探究1 问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h?20t?5t2。 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地需要用多少时间？ 师在给出问题后，给予一定的思考试间后，组织学生展示 解：（1）解方程15=20t-5t2 t2-4t+3=0 t1?1,t2?3 当球飞行1s和2s时，它的高度为15m。 （2）解方程 20=20t-5t2 t2-4t+4=0 t1?t2?2

了解题意，尝试解答问题 观察、思考、回答问题 垫。 此问题的设置体现的是数学来源于生活，其次也以解决实际问题的形式为后续体验一元二次方程与二次函数的联系作下铺垫。 2

展示解题过程 （3）解方程 20.5=20t-5t2 t2-4t+4.1=0 ∵（-4）2-4×4.1＜0，∴方程无实数根 （4）解方程 0=20t-5t2 t2-4t=0 t1?0,t2?4 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s飞出，4s时 落回地面。 问题：从数的角度看，二次函数与一元二次方程有什么联思考 系？（以填空的形式来对知识点做总结） 回答 结论：二次函数与一元二次方程联系密切。已知二次函数 问题 2y?ax?bx?c的值为m，求自变量x的值，可以看做解一元归纳 二次方程 。反过来，解方程 填空 ax2?bx?c?0可以看作已知二次函数 的值为m，求自变量x的值。 反馈练习：已知二次函数y??x2?4x的值为3,求自变量填空 x的值。就是求方程 的解。解方程x2?4x?3?0 就是已知二次函数 的值为0,求自变量x的值. 探究2 观察:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公 共点横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多观察 当球飞行2s时，它的高度为20m。 少?由此,你得出相应的一元二次方程的解吗?(1)y?x2?x?2 (2)y?x2?6x?9 (3)y?x2?x?1 y=x2-x+y=x2+x-2 1 y=x2-6x+ 问题的设置引导学生反思上述解题过程，类比一元一次方程与一次函数的关系，归纳总结二次函数与一元二次方程的联系，填空的形式减小归纳的难度。 反馈练习为理解新知服务。 观察函数图像，思考回答问题，归纳总结。让学生自己思考，计算等发现二次函数图计算 比较 思考 思考 归纳 回答问题 问题：二次函数y?ax2?bx?c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2?bx?c?0的根有什么关系? 归纳：一元二次方程ax2?bx?c?0的两个根为x1,x2 ,则抛物线y?ax2?bx?c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0) 二次函一元二次方程一元二次方程 像与x轴交点与对应的一元二次方程的根的关系。 3 数y?ax2?bx?c ax2?bx?c?0的的图象和x轴交点 根 有两个交点 有两个不相等的实数根 只有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 ax2?bx?c?0根的判别式 填表归纳 利用图像解答例题 观察回答问题 按提示展示交流 按要求完成练习 ??b2?4ac b2?4ac?0 以例题的形式初步用所学知识解答问题，了解利用图像解一元二次方程的步骤，同时了解根的估计方法。 反馈练习考察的是 基础训练的设置是为了让学生4

b?4ac?0 2b2?4ac?0 例题：利用二次函数的图象求方程x2?x?3?0的实数根（精确到0.1） 师出示题目 思考：利用二次函数的图象求方程的实数根的步骤是什么？(1)作函数图象；(2)确定根所在的________； (3)通过取________的方法不断缩小根所在的范围，直至符合题目要求。 反馈练习 （1）、二次函数 y?x2?x?1 的图象与 x 轴有______个交点，则一元二次方程x2?x?1?0 的根的判别式Δ______0。 （2）、一元二次方程 3x2?x?10?0的两个根是5x1??2,x2?， 那么二次函数y?3x2?x?10与x轴的交点3坐标是 。 （3）．已知y?x2?2x?10，小明计算器列出了下表： x x2?2x?10 －4.1 －1.39 －4.2 －4.3 －4.4 0.56 －0.76 －0.11 那么x2?2x?10?0一个根是（ ） A.-4.1 B.-4.2 C.-4.3 D.-4.4 三、运用拓展 基础训练 1.不与x轴相交的抛物线是( ) A.y?2x2?3 B.y??2x2?3 C.y??2x2?3 D.y??2(x?1)2?3