圆锥曲线起始课教学设计刘玉林 - 图文

指定课题：圆锥曲线与方程（起始课）

计数：刘玉林

一、教学设计

1．教学内容解析

《圆锥曲线与方程》安排在普通高中人教A版选修2-1中．教材通过章引言介绍了圆锥曲线的名称由来、发展历史、实际用途和坐标方法，主要说明圆锥曲线是什么、为什么要学习圆锥曲线和怎样学习圆锥曲线．尤其是着重说明了类比研究直线与圆的坐标法，研究圆锥曲线的基本套路．同时教材又进一步通过【探究与发现】介绍了Dandelin双球证法，说明了为什么二次函数的图象是抛物线；通过【信息技术应用】介绍了用《几何画板》探究椭圆的轨迹；通过【阅读与思考】介绍了圆锥曲线的光学性质及其应用．

基于教材对本章内容设置的前后一致逻辑连贯的结构顺序，作为本章起始课，拟定以了解圆锥曲线的发展过程和理解圆锥曲线的心理过程为基本线索，力图为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使学生在领悟圆锥曲线名称由来、广泛应用和研究方法的过程中学会思考，并侧重于椭圆定义的探究及初步应用．

根据以上分析，本节课的教学重点确定为

教学重点：椭圆的定义探究及初步应用（Dandelin双球证法）．

2．学生学情诊断

首先，学生在《数学2》中学习了研究直线与圆的坐标法，初步具备了运用代数方法研究几何问题的意识，初步感受了数形结合的基本思想，对椭圆、抛物线和双曲线的概念也仅仅停留在直观感性认识的层面上．因此，圆锥曲线作为学生再度理解坐标法和进一步感悟数形结合思想的学习内容，是螺旋上升的过程中掌握解析几何思想方法的一个突破口．

其次，本节课授课班级是我校实验班，尽管数学基础总体水平较好，但如何将几何问题代数化仍然是多数学生所面临的难题．为此，在起始课中，为降低难点，只让学生初步尝试给定数据的具体椭圆方程的推导方法，而将引发学生推导椭圆标准方程一般式作为后继学习内容．

根据以上分析，本节课的教学难点确定为

教学难点：具体条件下椭圆方程的推导和化简；坐标法的应用．

3．教学目标设置

（1）通过动态演示平面与圆锥面的截线，学生经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，感知圆锥曲线的来由；

（2）通过丰富多彩的实例，学生体会圆锥曲线应用的广泛性，数与形的辩证统一的关系

和圆锥曲线的内在美、和谐美和统一美，感受学习圆锥曲线的理由；

（3）借助展板动手操作和类比圆的定义，学生探究椭圆的定义，能用文字和符号语言描述椭圆的定义，会用Dandelin双球证明截口曲线为椭圆的情形，感悟圆锥曲线学法的因由．

（4）通过具体画出的特殊椭圆，学生类比直线与圆的方程，会初步运用坐标法推导具体给定的椭圆方程，能说出圆锥曲线又作为二次曲线的特征，感触圆锥曲线方程的情由．

4．教学策略分析

根据章起始课应体现统领全局的地位和作用的特点，采用“引言导入—问题诱导—启发讨论—抽象概括—探索归纳—总结规律”的探究式教学方法，紧紧围绕为什么学、学什么以及怎样学等问题展开，通过“引、思、探、练、归”相结合的做法，让学生初识圆锥曲线的相关背景、知识结构、逻辑体系和应用价值，明晰本章的学习内容、学习特点和学习方法．

为避免以教师讲解为主的告知式，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的教学方式，形成师生互动的教学氛围，充分调动学生的积极性，引发学生对圆锥曲线进一步学习的强烈期待，为全章内容的后续学习起到较好的铺垫作用．

具体教学策略分成如下五个环节：

第一环节：引言启导，追溯缘由．从“嫦娥奔月”的情景和阅读章引言出发，通过问题设疑，引导学生在不断思考中获取圆锥曲线的来龙去脉；

第二环节：应用开路，初识性质．从圆锥曲线广泛的应用性出发，通过引言解读和趣味传说，引导学生初识圆锥曲线的几何特征和光学性质；

第三环节：定义探究，双球验证．从抽象概括椭圆的定义出发，通过类比圆的定义、动手操作画椭圆和探讨Dandelin双球证法，引导学生归纳和运用椭圆的定义；

第四环节：方程推导，方法研究．从特殊椭圆方程的推导出发，通过类比直线与圆的方程的推导方法，引导学生尝试运用坐标法的基本步骤导出具体给定的椭圆方程；

第五环节：课堂小结，有效建构．从学生自主归纳小结出发，通过引言提炼的内容概述图和融合三种圆锥曲线的知识结构图，让整章的知识体系和逻辑线索鲜活地展现在学生面前．

其教学流程如下：

引言启导 追溯缘由 应用开路 初识性质 定义探究 双球验证 方程推导 方法研究 课堂小结 有效建构

二、课堂实录

（一）情景引入

引言：随着我国航天技术的发展日新月异，“嫦娥奔月”这一古老而美丽的传说正在逐步变为现实．请同学们观看视频．

师：这是嫦娥3号环月运行时变轨的过程．变轨后轨道是什么曲线? 生：椭圆．

师：对！椭圆这一类曲线正是我们在本章将要研究的主要内容．请同学们翻开课本第33页，阅读本章引言．（板书标题：圆锥曲线与方程）

（二）课内建构 1．名称由来

师：好！请同学们停下来，看大屏幕，同学们看书之后，知道圆锥曲线包括哪几种曲线吗?生：圆，椭圆，双曲线，抛物线．

师：对！那么为什么称为圆锥曲线呢?与圆锥有怎样的关系吗?

请看动画．我们知道，用平面截一个圆锥，当平面与圆锥的轴垂直时，截口曲线是一个圆．用平面截圆锥面还能得到哪些曲线?

（教师以flash动画给学生展示：当平面与轴所成的角?变化（其中截面不过顶点）时，截口曲线的变化情况．）

师：早在公元前约200年时，古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius，约前262年～约前190年）对圆锥曲线的性质就做了系统的研究（纯几何方法），并几乎网罗殆尽，使后人难以有新的发现．阿波罗尼奥斯和欧几里得、阿基米德合称为古希腊三大数学家．

【评析】借助动画演示介绍名称由来，嵌入数学史话，加深认知印象． 2．广泛应用

圆锥曲线不仅在数学历史发展的过程中熠熠生辉，而且在科学文化的其他领域闪烁光芒．比如，圆锥曲线为开普勒、牛顿、哈雷等数理天文学家研究行星和彗星轨道提供了数学基础．

师：让我们回到本章引言，这一段话的主要内容是什么呢? 生：圆锥曲线的应用．

师：那么有哪些方面的应用呢? 请看图片，这是太阳系行星的运行轨迹，是什么曲线?

生：椭圆．

师：对！有些彗星的轨迹是椭圆，比如著名的哈雷彗星，这是鹿林彗星，不为我们熟知一

些，轨迹是双曲线．它的轨迹是如此的长，图片中显示的只是其中一部分．

师：当人造天体被以不同的速度从地球发射出去的时候，它的轨迹分别是圆，椭圆，抛物线，双曲线．这涉及到物理中所讲的三大宇宙速度．

师：这是荆门热电厂的通风塔，同学们见过吗?我们作它的轴截面，取出两侧的轮廓线，是什么曲线?

生：双曲线．

师：这是橄榄球和探照灯．它们的表面分别是由椭圆和抛物线绕其对称轴旋转一周而来（显示旋转动画）．为什么探照灯要做成这种形状呢，只是为了美观吗?

生：应该是为了实用性．

师：实际上由于圆锥曲线具有特殊的光学性质，在生产生活中具有广泛的应用．请同学们也来解决一个问题，请看传说：

“杰尼西亚的耳朵” ：据说，很久以前，意大利西西里岛有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚把一些囚犯关在这个山洞里．囚犯们多次密谋逃跑，但每次计划都被杰尼西亚发现．起初囚犯们认为出了内奸，但始终未发现告密者．后来他们察觉到囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒耳朵里去了，于是囚犯们诅咒这个山洞为“杰尼西亚的耳朵”．

师：其中的奥秘，同学们解开了吗?

生：囚洞的剖面近似于椭圆，犯人聚居的地方恰好在椭圆的一 个焦点附近，狱卒在另一个焦点处偷听．

师：很好！恭喜你揭开了这个奥秘！这里是声波，不过声波和光波具有相同的传播性质． 【评析】用传说创设情境，激发学生兴趣，达到引入课题的目的．

师：事实上有很多美丽的建筑也与圆锥曲线有关，比如抛物面形天线，双曲线形建筑． 师：喷泉是什么形状? 生：抛物线．

师：中国国家大剧院．美吗?