第15章 工具变量与两阶段最小二乘

以看出你是否在内生性检验中做了正确的回归。它还对2SLS给出了另一个解释：在（15.51）的OLS回归

?2包括进来而清理出了y2的内生性（指把y2的内生部分清理了出来——译者）中把v。

我们还可以检验复解释变量的内生性。对于每个被怀疑的内生变量，我们如第（i）部分那样获得诱导型残差。然后，我们用F检验在结构方程中检验这些残差的联合显著性。联合显著性表明至少有一个被怀疑的解释变量是内生的。被检验的排斥性约束的数目就是被怀疑的内生解释变量的数目。

检验过度识别约束

当我们在第15.1节中介绍简单的工具变量估计量时，我们强调IV必须满足两个必需条件：它必须与误差不相关，与内生解释变量相关。我们在相当复杂的模型中已看到，如何判断在诱导型回归中是否能用一个t或F检验来检验第二个必需条件。我们声称第一个必需条件不能被检验，因为它涉及到IV与未观测到的误差之间的相关。然而，如果我们有不只一个的工具变量，我们就能有效地检验它们中的一部分是否与结构误差不相关。

作为一个例子，在有另外两个工具变量z3和z4的条件下，重新考虑方程（15.49）。我们知道仅用z3作

????y???z???z。?1?y?1??为y2的IV，就能估计（15.49）。给定IV估计值，我们就能计算残差u0122132?1在样本中是否相关。如果它们相关，z4不是y2的有效因为z4在估计中根本没用到，我们可以验证z4与uIV。当然，这并没有告诉我们z3与u1是否相关；实际上，因为它是个有用的检验，我们必须假定z3与u1不相关。然而，如果z3和z4是用相同的逻辑来选择的——例如母亲的教育和父亲的教育——发现z4与u1相关将使人对用z3作为IV产生怀疑。

因为z3和z4的角色可以交换，若是假定z4与u1不相关，我们也可以检验z3与u1是否相关。我们该用哪个检验呢？结果是，我们对检验的选择是无关紧要的。我们必须假定至少有一个IV是外生的。然后，我们可以对2SLS中所用的过度识别约束（overidentifying restrictions）进行检验。根据我们的用意，过度识别约束的数目简单地就是额外的工具变量的数目。假定我们只有一个内生解释变量。如果我们只有y2的单一个IV，而没有过度识别约束，也就没什么可检验的。如果我们有y2的两个IV，如同前面的例子中那样，则我们有一个过度识别约束。如果我们有三个IV，则有两个过度识别约束，等等。

检验过度识别约束是相当简单的。我们必须获得2SLS残差，然后做一个辅助回归。

检验（任意多个）过度识别约束

?1。 （i）用2SLS估计结构方程，获得2SLS残差u?1对所有外生变量回归，获得R，即R1。 （ii）将u（iii）在所有IV都与u1不相关的虚拟假设下，nR~?q，其中q是模型之外的工具变量的数目减去内生解释变量的总数目。如果nR1超过了?q分布中的（例如）5%临界值，我们拒绝H0，并推断出至少部

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22221a22分的IV不是外生的。

例15.8 职业女性的教育回报

当我们在（15.40）中用用 motheduc和fatheduc作为educ的 IV，我们有一个的过度识别约束。将2SLS残差u1对exper、exper

?2、motheduc和fatheduc做回归，得出R1?.0009。因此，

2nR12?428(.0009)?.3852，这在?12分布中是一个非常小的值（p值 = .535）。因此，父母亲的教育变量

通过了过度识别检验。当我们将丈夫的教育增添到IV表中，我们得到两个过度识别约束，nR1?1.11（p值 = .574）。因此，将huseduc增添到IV表中似乎是合理的，因为它减少了2SLS估计值的标准误：运用所有三个工具，得出的educ的2SLS估计值为.080（se = .022），这使得educ比不用huseduc作为IV时（?educ=.061，se = .031）显著得多。

在前面的例子中，我们提到了关于2SLS的一个普遍事实：在标准的2SLS假定下，在表中增添变量提高了2SLS的渐近有效性。可是要求任何新的工具实际上是外生的——否则，2SLS将甚至不是一致性的——而且这只是个渐近的结果。在具备有典型样本容量可供使用的条件下，增添过多的工具——即增加过度识别约束的数目——会导致2SLS中的严重偏误。详细的讨论将使我们大大偏离正题。Bound、Jaeger和Baker（1995）给出了一个好的例子，他们认为Angrist和Krueger（1991）用许多工具变量获得的教育回报的2SLS估计值，很可能是严重有偏的（即使有成百上千的观测值！）。

无论何时我们有多于所需的工具，都可以用过度识别检验。如果我们有恰好足够的工具，该模型称为是恰好识别的，第（ii）部分中的R将恒等于零。正如我们前面提到的，在恰好识别情况下我们不能检验工具的外生性。

可以使检验成为对任意形式的异方差性强健的t检验。关于细节，参见Wooldridge（1999，第五章）。

22?15.6 异方差性条件下的2SLS

2SLS中的异方差性提出了本质上与OLS情况下相同的问题。最重要的是有可能对任意和未知形式的异方差性获得（渐近）强健的的标准误和检验统计量。一些软件包按常规做此检验。

?表示我们也能用类似布劳殊—培干检验的方法来检验异方差性，对此我们在第8章中讨论过了。令u2SLS残差，并且令z1, z2, …, zm表示所有的解释变量（包括那些用作内生解释变量的IV）。那么，在合

?对理的假定下，[例如，在Wooldridge（1999，第5章）中已有详细的说明]，一个渐进有效的统计量是在uz1, z2, …, zm的回归中用于检验联合显著性的通常的F统计量。如果诸zj是联合显著的，同方差性的虚

拟假设就被拒绝。

如果我们将它应用于例15.8中，用motheduc、 fatheduc和huseduc作为educ的工具，我们得到F5,422 = 2.53，p值 = .029。这是在5%水平上异方差性的证据。我们也许想要算出这个对异方差性强健的标准误

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2来说明这一点。

如果我们知道误差的方差是如何依赖于外生变量的，我们就可以用加权的2SLS方法，它本质上与第8.4节中是一样的。在估计出Var(uz1, z2, ..., zm)的一个模型之后，我们将第i次观测的因变量、解释变量

? ，其中h?；参见?表示估计的方差。和所有工具变量除以h（常数既是解释变量又是IV，将它除以hiii第8.4节。）这样，我们用变换了的工具在变换了的方程中应用2SLS。

15.7 2SLS应用于时间序列方程

当我们将2SLS应用于时间序列数据时，在第10、11和12章中对OLS所作的许多考虑都是适用的。写出每个时期的结构方程为：

yt??0??1xt1?...??kxtk?ut, （15.52） 其中也许一个或多个解释变量xtj与ut相关。用zt1, …, ztm表示一组外生变量：

E(ut)?0, Cov(ztj,ut)?0, j?1, ..., m.

任何一个外生解释变量都同时是一个ztj。为了识别，m?k是必需的（我们至少有与解释变量一样多的外生变量）。

对时间序列或横截面数据，2SLS的作用是完全相同的，只是对于时间序列数据，2SLS的统计性质依赖于基本序列的趋势性的和相关的性质而已。特别是，如果我们有趋势性的因变量或解释变量，我们必须小心地把趋势包括进来。.由于时间趋势是外生的，它总是可以作为自身的工具变量来用。如果运用了月份或季度数据，季节虚拟变量同样可作为工具。

具有强持续性的序列（有单位根）必须谨慎使用，正像OLS的情况那样。往往，在估计之前要对方程进行差分，包括对工具变量进行差分。

在类似第11章中OLS渐近性质的假定下，运用时间序列数据的2SLS是一致性的，且渐近地服从正态分布。实际上，如果我们在表述假定时用工具变量代替解释变量，我们只需要对2SLS增添识别假定。例如，同方差性的假定可表述为：

E(utzt1, ..., ztm)??, （15.53）无序列相关的假定可表述为：

E(utuszt, zs)?0, 对所有t?s, （15.54） 其中zt表示时间t的所有外生变量。关于假定的详尽表述在本章附录中给出。我们将在第16章中为时间序列问题提供2SLS的例子；并参见问题15.5。 问题15.4 检验政府支出增长对产出增长的影响的一个模型是： gGDPt??0??1gGOVt??2INVRATt??3gLABt?ut. 其中g表示增长，GDP是实际国内生产总值，GOV是实际政府支出，INVRAT是国内投资总额对 GDP的比率，LAB是劳动力的多少。[参见Ram（1986）中的方程（6）。]表示t ? 1年的总统是否是 22共和党人的一个虚拟变量，在什么假定下可以是gGOVt的适宜的IV？ 23 如同在OLS的情况下那样，时间序列数据往往违背了无序列相关的假定。幸运的是，检验AR（1）序列相关是十分简单的。如果我们写出ut??ut?1?et，并将之代入方程（15.52），我们得到：

yt??0??1xt1?...??kxtk??ut?1?et,t?2. （15.55）

?t?1代替ut?1。此外，如果xtj在（15.52）中是内生的，那么它为检验H0:?1?0，我们必须用2SLS残差u?t?1可用作它在（15.55）中也是内生的，所以我们仍需要运用一个IV。因为et与ut的所有过去值不相关，u自身的工具。

在2SLS之后检验AR（1）序列相关

?t。 （i）用2SLS估计（15.52），获得2SLS残差u（ii）用2SLS估计

?t?1?errort, t?2, ..., n yt??0??1xt1? ... ??kxtk??u?的t统计量检验H0:??0。 ?t?1之外运用了与第（i）部分中相同的工具。用?其中除u如同在第12章中得出的OLS形式的该检验那样，t统计量仅具有渐近的正确性，但实际中它往往会很

适用。可用对异方差性强健的形式来防止异方差性。此外，还可把滞后残差增添到方程中，以便运用一个联合的F检验来对序列相关的高阶形式进行检验。

如果我们侦察出序列相关会怎么样？一些计量经济学软件包将计算标准误，它们对形式相当一般的序列相关和异方差性是强健的。如果由你的计量经济学软件包做此计算，这是一个妥当而简单的方法。其计算与第12.5节中OLS的那些非常相似。参见Wooldridge（1995）中的公式和其他计算公式。

另一个选择是运用AR（1）模型，纠正序列相关。程序与OLS的相似，对工具变量提供另外的约束。准差分方程与方程（12.32）中的相同：

yt??0(1??)??1~xt1?...??k~xtk?et,t?2, （15.56） ~ xtj?xtj??xt?1j。其中~（正如在第12.3节中，我们可以使用t = 1时的观测值，但为了简单我们在此略去了。）ztj?ztj??zt?1j似乎是自然的。问题是：我们能用什么作为工具变量呢？运用准差分工具~然而，只有（15.52）

中的原误差ut在时间t、t ?1和t +1与工具不相关，这才是可行的。那就是说，工具变量在（15.52）中必须是严格外生的。例如，这排除了滞后因变量作为IV的可能性。它也排除了这样的情况：IV中将来的变动反映了误差ut中现在和过去的变化。

带有AR（1）误差的2SLS

?t，t = 1, 2, …, n. (i)用2SLS估计（15.52），获得2SLS残差u?xt?1j和?yt?1，~?，构造准差分变量~?t对u?t?1（t = 2, …, n.）的回归中获得?xtj?xtj??yt?yt??(ii)从u 24