2019年山东省淄博市中考数学试卷（a卷）及答案解析

理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．

∵DO＝OA，DG＝GB， ∴GO∥AB，OG＝AB， ∵GF∥AC， ∴O，G，F共线， ∵FG＝AB， ∴OF＝AB＝DF， ∵DF∥AC，AC∥OF， ∴DE∥OF，

∴OD与EF互相平分， ∵EM＝MF，

∴点M在直线AD上， ∵GD＝GB＝GO＝GF， ∴四边形OBFD是矩形， ∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°， ∵OM＝MD，OG＝GF，

∴MG＝DF，设BC＝m，则AB＝2m，

易知BE＝2OB＝2?2m?sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m?cosα，DF＝OB＝2m?sinα， ∵BM＝EF＝

＝

，GM＝DF＝m?sinα，

∴＝

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＝．

21．解：（1）∵抛物线y＝ax+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0） ∴

解得：

∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x+2x+3

（2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形． ∵y＝﹣x+2x+3＝﹣（x﹣1）+4 ∴顶点M（1，4） ∴AM＝（3﹣1）+4＝20 设点P坐标为（0，p）

∴AP＝3+p＝9+p，MP＝1+（4﹣p）＝17﹣8p+p ①若∠PAM＝90°，则AM+AP＝MP ∴20+9+p＝17﹣8p+p 解得：p＝﹣ ∴P（0，﹣）

②若∠APM＝90°，则AP+MP＝AM ∴9+p+17﹣8p+p＝20 解得：p1＝1，p2＝3 ∴P（0，1）或（0，3）

③若∠AMP＝90°，则AM+MP＝AP ∴20+17﹣8p+p＝9+p 解得：p＝ ∴P（0，）

综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形．

（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H ∵DG⊥x轴于点G

∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90° ∴四边形IEGH是矩形 ∵点I为△ADG的内心

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∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG ∴矩形IEGH是正方形 设点I坐标为（m，n） ∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n ∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m ∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m ∵DA＝OA＝3

∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m ∴DG＝DH+HG＝m+n ∵DG+AG＝DA

∴（m+n）+（n+3﹣m）＝3 ∴化简得：m﹣3m+n+3n＝0 配方得：（m﹣）+（n+）＝

∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为∴当点I在线段CQ上时，CI最小 ∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为

．

的圆在第一象限的弧上运动

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