2014年暑假平面几何讲义：四点共圆(教师版)

实用标准文案

易知Rt△FCS∽Rt△EAQ，Rt△FDT∽Rt△EBP，得(FS/EQ)＝(FC/EA)＝(FD/EB)＝(FT/EP)，又∠SFT＝∠PEQ，

∴ △FTS∽△EPQ。得∠FTS＝∠EPQ，于是∠QPS＋∠STQ＝180°， 从而P、S、T、Q四点共圆。在直角梯形EPSF中，M是腰EF的中点， 故M落在线段PS的中垂线上；同理，M也落在线段QT的中垂线上。 故M就是P、S、T、Q四点所共圆的圆心。∴ MP＝MQ。

例31、已知设H是?ABC垂心，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，，

且DF=DB,DC=DE.

SAEA求证 A、H、F、E四点共圆

BDCFHFEHBDC

证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）延长FD交CH延长线于S, 因为∠BAH=∠DCH=90°-∠ABC=(1/2)∠FDB,所以∠DSC=∠DCH=∠FAH, 即S、A、H、F四点共圆，因为DS=DE=DC,

所以点D是△SEC外接圆圆心，所以∠SEA=(1/2)∠SDC =∠AFS,所以S、E、A、F四点共圆，因此A、 H、F、S、E五点共圆，进而A、H、F、E四点共圆

例32、第27届俄罗斯数学奥林匹克几何题，2001年

文档

实用标准文案

已知D是?ABC边BC是一点，DB、DC中垂线分别交AB、AC于F、E,点O是

?ABC外心.

求证 A、E、O、F四点共圆

BFOBAEHAEFO

DCKDJC证明 （文武光华数学工作室 南京 潘成华）作D关于EF对称 点H,可知F是△BHD外接圆圆心，E是△CHD外接圆圆心， 过E、F分别作BC垂线EJ⊥BC于J,FK⊥BC于K,∠HEC=2∠FEJ =2(180°-∠EFK)=360°-∠HFD-∠BFD=∠HEB,因此∠BHF=∠EHC 可知∠BHC=∠EHF=∠EDF=∠BAC,因此H在△ABC外接圆圆O上， 于是OF⊥BH,OE⊥HC,进而180°=∠EOF+∠BHC=∠EOF+∠BAC, 即A、E、O、F四点共圆

例33、已知 ?OAD与?OCD反向相似，直线AB、CD交于P,?PBD与O?PAC外接圆交于另一点Q,

H求证OQ?PQ

A文档

JCBM实用标准文案

AOCBD Q

P证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设直线PB、PC 交△OPQ外接圆于H、J，过点K、I、M垂直于直线PH,

且交PH分别于X、Y、Z,所以(KL/IM)=(XY/YZ)=((PA-PB/2)/(PH-PB/2))=(AB/AH),

同理(KI/IM)=(DC/CJ),可知(AB/DC)=(AH/CJ)，得到因此(AO/OC)=(AB/DC)=(AH/CJ)，易知

△OHA～△OJC,进而∠H=∠J=90°,所以∠Q=90°,即OQ⊥PQ

第十九题已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华）I是BC中点，AB?ACA,

AE?AF,点E、F分别在AB、AC上，?EIB??EFI.

求证 EI 是?BEF角平分线（2013 10 7 7：46）

文档 AAFPFEEJ实用标准文案

证明 (一)、作?EFI外接圆，则BC是切线，设AE＞AF,圆⊙(EFI) 交AB于另一点

P,设⊙(EFI)圆心J, 易知A、E、J、F四点共圆，A、I、J共线，得到EJ?IJ,

?IEJ??JIE?1?AJE?1?AFE,所以?IEF?1(?AFE??BAC)?1?BEF,所以EI是

2222?BEF角平分线

证明（二）在AC上取点K使得AE?AK,?EFI??BIE??IEK??EKI 所以E、F、K、I四点共圆，因此?BEI??IKC??FEI,

于是EI 是?BEF角平分线

AF

E

BIKC

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