2014年暑假平面几何讲义：四点共圆(教师版)

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证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）∠BAI=∠HAD, 所以∠IAH=∠BAD,(AB/2AI)=sin∠AJB=sin∠AJD=(AD/2AH),可知(AI/AH)=(AB/AD)(1),

所以△AIH～△ABD,∠AIO=90°+∠BAI=90°+90°-∠AJB=∠BJC, ∠AIO=∠ABD=∠ACB, 所以∠IAO=∠DBC,同理∠HAO=∠BDC,设AO、JH交于点M, 即证明IM=MH,也就是AIsin∠IAO=AHsin∠HAO,

等价于(AI/AH)=(sin∠HAO/sin∠IAO)=(sin∠CDB/sin∠CBD)=(CB/CD),因为(AB/AD)=(BC/CD)， 根据（1）结论显然成立

例27、已知 ⊙O 是?ABC外接圆，MN是?ABC边BC中垂线所在的弦，DP//AN, MP?EF交AB、AC分别于E、F.

求证 EP?FP B

NDPEOFLMMAAXPEOFCBDC文档

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明（苏州学生方法）过M作ML⊥AC于L,MX⊥AB于X,，根据Simson线可知：L、X、D共线，易知AL=AX,所以DL//AN,因此P在直线DL上，M、E、P、X四点共圆，

M、L、F、P四点共圆，∠MBC=∠LAM=∠MXL=∠MEF=∠MAB=∠BAM=∠MFE =∠MCB,所以ME=MF,进而PF=PE

证法（三）作MX⊥AB于X,所以∠ABM=∠ANM=∠PDM, 易知M、B、D、X四点共圆，所以∠ABM=∠XDM,于是 PXFMAX、P、D共线，易知M、E、P、X四点共圆，所以 ∠BME=∠AEM-∠ABM=∠MPX-∠MDP=∠DMP,同理 ∠CME=∠DMP,MB=MC,进而△MEB?△MCF,因此 ME=MF,得到PE=PF

BEODCN例28、已知PE、PF 是以AB为直径的半圆⊙O两切线，E、F是切点，BE、AF交于D, PB交⊙O于CP. 求证 P、E、D、C四点共圆

ECEFDOBAOP

A

CFDB

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证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）∠EDA=∠EBA+∠DAB

=(1/2)(∠FOB+∠EOA)=(1/2)(180°-∠EOF)=(1/2)∠EPF,PE=PF,所以P是圆（DEF) 圆心，所以PE=PD,可知∠PDE=∠PED=∠BAE=∠PCE, 于是P、E、D、C四点共圆

例29、如图，AB是圆O的切线，ADE为圆O的割线，D介于A, E之间。 M为AO的中点，圆M为△ABO的外接圆，BD交圆M于F。 求证：EB为⊙M的切线，当且仅当BD=DF。 EBEBK DA AD FMOFMO

证明： 上海曹珏贇先生解答<充分性.若BD=DF>

设ADE交圆M于K。由∠AKO=90°, OE=OD知：DK=KE

2SVABDBD△ABD∽△AEB => ??AD => BE2?AE?BD2 2ADSVAEBAEBE?AE?AD?DK?EA?EK=> BE为圆M的切线 AD<必要性.若EB是圆M的切线>设ADE交圆M于K。由∠AKO=90°, OE=OD知：DK=KE

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据题意知：∠ABD=∠BED, ∠EBK=∠BAK=> △ABD∽△BEK据题意知：∠BEO=∠EBO=∠BAO=∠ABM=> △ABM∽△BEO于是D, K是对应点，又由于∠OKE=90°，故∠MDB=90°。

又由于MB=MF，故BD=DF。

证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设AE交⊙M于H, ∠BOD=2∠BED=2∠ABF=∠AMF,所以△BOD∽△AMF, 可知AF×BO=BD×AM(1),因为∠MBO=∠BOM=∠AFD, BE是切线等价于∠EBH=∠BAH,等价于∠BHD=∠BDH, A所以∠AFD=∠ADF,因此BE是EB为⊙M的切线等价

FDGMOEBH于△BOM∽△DFA,等价于AF×BO=BM×DF,因为BM=AM, 根据（1）可知BD=DF

例30、已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点，M是EF的中点，自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q。求证：MP?MQ。 AQDAQDT

证明：自F分别作BC、AD的垂线，垂足记为S、T，联ST、PQ。

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