2014年暑假平面几何讲义：四点共圆(教师版)

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证明：联结OA、OBO，作OM?CD于M。由垂径定理知CM?MD。 由?OAP??OBP??OMP?90?，得A、B、M都在以PO为直径的圆上，

即P、A、M、B四点共圆，∴?ABM??APM。而CE//PA，得?APM??ECM由此?ABM??ECM，推出B、C、E、M四点共圆。

得?EMC??EBC、而?EBC??D，故?EMC??D， ∴EM//AD。在?CDF中，由中位线逆定理即得EC?EF。

例22、已知A 为⊙O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别与⊙O相切于

C、D，DE?AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。求证：DF?BFG。

B DCKCMDFG

OFGEAOEA证明：设AB交⊙O于K，联结OB、CD交于M。则OB垂直平分CD，即M是CD中点。联KM、KD、MF。由BK?BA?BD2?BM?BO，得?BKM∽?BOA， 于是?BMK??BAO，由此?DMK??AFE??KFD，得K、M、F、D四点共圆， 于是?DMF??DKF??DCA，∴MF//CA。因M是DC中点，故F也是DG中点， 即DF?FG。证毕

例23、已知 PA、PB是⊙O切线，A、B是切点，PCD是割线，DJ//AP交AB于J,直线JC交AP于I,求证AI?PI(2013 11 11 21:30)

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证明作OK?PD于K,延长AC、DJ于L,易知A、P、B、K、O五点共圆，可知 ?JDP??ADP??ABK,所以B、K、D、J四点

共圆，于是?AJK??CDB??CAJ,于是ACA//BK,易知CK?DK, 所以LJ?DJ,进而根据相似知识可知AI?PI.

例24、 ?ABC是等边三角形，AD//BE,BD?DE,连接CE,取CE中点F, 求证?ADF?120? BADKAD

CEFBCMFE证明（田开斌给出）延长ED到K,使得DK=DB,?KDA??DEB??DBE??ADB,所以

?ADK??ADB,所以AK?AB?AC,于是?DKC?1?DAB?30?,?KBC∽?DMF,可知

2?MDK?30?,因为AD//BE，所以?ADF?120? XAD证明（二）上海-leenco林可先生证明： 作等边三角形?DBY,连接YC交DA延长线于 X,连接XB,所以Y是?DEB外心，?BEY?30?, EFCYB文档

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?ABD≌?CBY所以?XYB??XDB,得到 X、D、Y、B四点共圆，于是?YXD?60?,得到 XY、BE夹角60?，可知?XYE?90?,所以YE?CF?EF,

于是?YDF??EDF,?ABD??EBD??BED,

所以?ADF?180???FDE??DBE,易知DF?EY,得到?FDE??DBE?60?，进而?ADF?120?

例25、已知 ?ABC中，H、O是?ABC垂心，外心，HD//AB交AC于 . D,HE//AC交AB于E,求证 ODA?OE

证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）取BC中点M, 连接OM,AH、DE,设AH、DE交于点N,连接ON,HM, ∠BHC=180°-∠BAC=∠ADH,∠HAD=∠CBH,所以△AHD ∽△BCH,于是△HDN～△CHN,进而∠HND=∠CMH,

根据Euler定理，四边形ONHM是平行四边形，得到∠ONH =∠OMH,所以∠OND=∠OMC=90°,所以OE=OD.

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EAENDDOHBOHCMBC实用标准文案

例26、已知四边形ABCD是⊙O内接四边形，且AB?BC , AC、BD交于点J,

ADCD点I、H分别是?ABJ、?ADJ外心. 求证 AO平分BD BAAIIJOH BMJHDDOCC文档