2014年暑假平面几何讲义：四点共圆(教师版)

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MD?MK,所以AF?MD,因此AFMD是等腰梯形，可知A、F、M、D四点共圆，因

为A、F、E、D四点共圆，所以M在?AEF外接圆上,即?AEF外接圆过OH中点M.

例17、已知两同心圆，从大圆上一点A作AB、AC切小圆于B、C,

2直线AC交大圆于D.求证AE2?BE

DECE

证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设两圆圆心O,

延长AB、AC交AB、AC分别交大圆于S、D,所以BC是?ASD中位线，

?DAE??DSE??BEC,?BSE??ADE,所以?ADE∽?ESB,

222AEBEBEAEDEDE??BE，等价于 ??所以,所以22 ,结论等价于2CEBEBSDCDEDCDCAABCEBOCEDSDDC2?BE?CE,因为DC2?DO2?OC2?EO2?OC2?BE?CE得证

例18、（2004年日本数学奥林匹克几何题）

已知 如图，点D、E分别是AB、AC上两点，且AD?CE过点D、E分别作

DBAEAC、AB的平行线交过点A作?ABC外接圆的切线分别于H、I,延长直线DE交?ABC外接圆于F、G

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求证（1）H、F、G、I四点共圆，(2)BC是⊙切线 （HFG）

DHHAAIIEGEFGDF

BBCJC证明 因为HG//AC,AD//EI,因为AD?CE，所以直线DH、EI交点必在BC上设

DBAE为J,?ABC??IAC??AHJ,所以A、H、B、J四点共圆，同理A、I、C、J四点共圆

AD?DB?HD?DJ?GD?DF因此H、F、J、G四点共圆同理I、F、J、G四点共圆，

于是H、F、G、I四点共圆，?AJB??ACB??HAB??AIJ,所以BC是⊙切线 （HFG）例19、已知AB、AC分别是圆⊙O两切线、B、C是切点，CD平分?ACB,交

AB于D,DF切⊙O于E,交BC延长线于F.

求证 BC?3CF B

ODECFAADHBKOIECF证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）连接AO交BC于I,BE、DO交于K,设线段CD交⊙O于H，易知I、K分别是BC、BE中点，A、H、I、O共线，根据

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配位中线知识可知?ECD??BCK,所以?ECA??HCB,又?BEC??BHC,所以

?EKC??HBC??HCB??ECB,进而BE?2KE?2EC,又?ECF∽?BFE,

得到BF?2EF?4CF,即BC?3CF.

证明（二）ED2?DH?DC?DK?DO,

所以?DKE∽?DCO,?DKH??DCO,所以 ?HKE??HBC,所以?HKE∽?HBC,可知

?HCE??ACH??ACE??BCH??CBC??HBC??CBE??HBK ADBHEKOCF于是?BKH??CEH,得到CE?BK?KE,下面同证法（一）

例20、回答广州陈泽桐老师几何题

已知 ⊙J是?ABC的A?旁切圆，D、E是切点，点F是DE延长线上一点， CF 交AB于G. 则FC?FGAAB的充要条件是FG?AB AC?BCA GBGBSCEF CEFDJRD JT文档

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证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设JC、DE交于S,BS延长线交直线AE于R,CS交直线AD于点T,三角形三角A、B、C,根据Menelaus定理AD?GF?CE?1,所

DGCFAEABAB以CF?CE,,CSE?90??1?ABC=?DBJ??DCJ所以?FGDGAC?BCAE?BD2B、S、J、D四点共圆，可知BS?CS,可知BS?SR,根据Menelaus定理,

sinCER?AD?BS?1,所以ER?BD,ABAB2??AB ?, ABBDSRAC?BCAE?BDARCsin(B?)2sinCFC?AB2成立的充要条件是EC? (1)，FGAC?BCDGsin(B?C)211EC?EC?JC?sinC?JC , FG?AB等价于JC?TC??,即

DGTGsin?GCTCDGJCDG2DGsin(A?)2sinCsinCEC?22根据（1）结论成立 ?DGsin(A?C)sin(B?C)22例21、已知：自⊙O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平

行线，分别交ABP、AD于E、F。求证：CE?EF。 PCEBECABMOA

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