2014年暑假平面几何讲义：四点共圆(教师版)

实用标准文案

BAAHDEFGCBMHDEFGCOJN证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设?BHC外接圆为⊙O, 直线AG交⊙O于N,所以H、O、N共线，延长CH交AB于点M,易知

A、M、H、D四点共圆，所以?BAD??DHC??ANC,所以AB//CN,同理BN//AC,

所以ABNC是平行四边形，得到G是BC、AN中点，连接AF交⊙O于J, 因为BE?AF,可知B、O、J共线，所以OG是?AHN、?BJC中位线， 得到AH、CJ平行且相等，所以F是HC中点，可知GF//BH

例13、（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设?ABC周长为2p，

AE?AF?p?AC，求证?ABC的C?旁切圆与?ABC外接圆外切。（2014-6-12 8：

56）

证明 设?ABC的C?旁切圆切直线EF、AB、AC于D、L、M,AC交?AEF外接圆于N,

直线AD 交?ABC的C?旁切圆于K ,AF2?AL2?AD?AK,所以?AFD∽?AKF,所以?AKF??AFD??AEF?180???ANF,所以点K在?AEF外接圆外接圆上，因为A是

?中点，所以点K是两圆的切点，即?ABC的C?旁切圆与?ABC外接圆外切。 BAF

C

文档 BEFCFNAEDBLKA实用标准文案

例14、CD?AB于D，H、O是?ABC垂心，外心，OD?DE交AC于E，

求证?BAC??DHE

BOCCOHEDAHEBKDJA

证明(一) 延长CD交⊙O于J,延长ED交BJ于K,根据蝴蝶定理可知DE?DK,根据鸭

爪定理可知DH?DJ,所以HE//BJ,等腰?BAC??BJD??DHE.

证明（二）在BD取S使得DS?AD,所以?SCD??ACD??BCO,设BH、CS交于T,

?CBO??DBT,根据等角共轭点性质，可知?CDT??BDO??CDE,又 ?DBH??ACD??CDS,可知C、D、S、H四点共圆，可知 ?DHE??DHT??CSD??ABC

C

例15、第47届IMO预选，2006年

BTSOHEDA文档

实用标准文案

如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB＞CD,点K、L分别在线段AB、CD上，且

AK?DL,P、Q分别在直线KL上，且?APB??ADC,?CQD??BAD. KBLC求证 A、D、P、Q四点共圆 ODPLCDPJLCA

KQBAQKB证明（一） 因为AK?DL ，易知AD、QP、DC共点，设为O,

KBLC设AQ交圆⊙(DCQ)于J,?CQD??BAD??ODC,因此QD 是圆⊙(QDC)切线，?APD??ADC??DJC,所以DJ//AP, 所以?PAD??ODJ??AQP,因此A、D、P、Q四点共圆

证明 （二） （文武光华数学工作室 潘成华）因为(AK/KB)=(DL/LC),AB//CD,根据 位似知识可知AD、QL、BC的延长线共点，设为E,过点L作LX//AP交AD 于X,作LY//PB交BC于Y,因此XY//AB,设XL、DQ交于S,LY、QC交于T,

XDSELPTCYAKQB文档

实用标准文案

根据Menelaus定理可知(XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL),于是ST//XY,

∠SQT+∠SLT=∠DAB+ADC=180°,所以L、S、Q、T四点共圆， 易知∠SQL=∠STL=XYL=∠ABP=180°-∠APB-∠BAP=180°-∠ADC-∠BAP ∠DAP,进而A,D,P,Q四点共圆

例16、2012年西部数学奥林匹克几何题

已知△ABC 外心、垂心分别是O、H,AD?BC于D,

AO中垂线交CB延长线于E.求证 ?AEF外接圆过OH中点.

E BHDAFAFOMHECBDOKC

证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）取OH、BC中点M、K,根据欧拉定理可知AH?2OK、AH//OK,所以MF?OK、MF//OK,所以MK?OF?AF,又易知

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