2014年暑假平面几何讲义：四点共圆(教师版)

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四点共圆

文武光华数学工作室 潘成华

平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一：平面上有四点A、B、C、D,若?A??D, 则A、B、C、D四点共圆

A

方法二 线段AC、BD交于E,若AE?EC?BE?ED,则A、B、C、D四点共圆 D

方法三 线段AC、BD交于E,若AE?BE?CE?ED, 则A、B、C、D四点共圆

BECEA

方法四：若四边形ABCD,?A??C?180?， 则A、B、C、D四点共圆

BDCADBC文档

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方法四、已知 AD是△ABC内角或外角平分线，AB?AC,且BD?DC,则A、B、C、D四点共圆

OADA

BOCBDC证明 设?BAD??,因为AD?AD,所以sinB?sinC，所以sinB?sinC，

DBDCsin?BADsin?CAD内角时B?C?180?,外角时B?C，所以A、B、C、D四点共圆

托勒密定理： Tolemy(托勒密定理）

若四边形ABCD是圆O内接四边形,则AD?BC+AB?CD=AC?BD

BCBDDAAOOEC文档

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证明 在AC上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD～△EDC,△ADE～△BDC，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD?BC+AB?DC=AE?BD+BD?CE=AC?BD

例1、已知 点D、E在?ABC内，?ABD??CBE,?BAE??CAD. 求证?ACD??BCE.

证明(一)（文武光华数学工作室 南京 潘成华）作E关于BC、AB、AC 对称点P、R、Q,易知?BRD≌?BPD, ?ARD≌?AQD,于是DP?DR?DQ, 所以?DCP≌?DCQ,得到?PCD??QCD,进而?BCE??ACD.

证明（二）作?BDS外接圆交AD延长线于S,可知?ASC??DBC??ABE,得到

?ABE∽?ASC,所以?ABS∽?AEC,得到?ACE??ASB??DSB,

AAQRDDEECBCBP所以?BCE??ACD.

SBECAD

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例2、已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华）E是?ABC内一点，点D

在BC上，且?BAE??DAC,?EDB??ADC.则?AEC??BED?180?

B DEAAFEKGCBLDC

证明 先证明AB?BE,过E作AB、AC、BC垂线EF、EG、EL交AB、AC、BC分别于

ACECJF、G、L，直线EL、AD交于J,取AF中点K,易知B、F、E、L四点共圆，

FLABsinC??BE?FL?CE(1),(B、C是?ABC的内E、G、C、L四点共圆，所以

ACsinBLGLGBECE角)，因为?EDB??ADC，所以EL?LJ,于是KL//AJ,易知A、F、E、G四点共圆，圆

心是K，?BAE??DAC,所以AD?FG,进而KL//FG，得到KL是FG中垂线，所以FL?LG，(1)得AB?BE

ACEC 下面我们证明?AEC??BED?180?，因为sin?AEC?ACsin?EAC,

AEsin?BAE?ABsin?BAE,,两式相除得sin?AEC?sin?EAC?sin?BAD BEsin?BAEsin?BAEsin?DAC?ABsin?BAD?EC?BD?EC?sin?BED,因为?AEC??BAE??BED??DEC?360?ACsin?DACBECDBEsin?DEC所以，?AEC??BED?180?

证明（二）在AB取H,使得?AHB??PDB,所以?AHP∽?ADC,进而得到 ?AHD∽?APC,易知H、P、D、B四点共圆，

A所以?APC??BPD??BHD??AHD?180?

HP

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